Решете 2x^2+14x-4=-x^2+3x

$$2 x ^ { 2 } + 14 x - 4 = - x ^ { 2 } + 3 x$$

Решаване за x

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Добавете x^{2} от двете страни.

$$2x^{2}+14x-4+x^{2}=3x$$

Групирайте 2x^{2} и x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$3x^{2}+14x-4=3x$$

Извадете 3x и от двете страни.

$$3x^{2}+14x-4-3x=0$$

Групирайте 14x и -3x, за да получите 11x.

$$3x^{2}+11x-4=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 3x^{2}+ax+bx-4. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=11 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -12 на продукта.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Решението е двойката, която дава сума 11.

$$a=-1 b=12$$

Напишете 3x^{2}+11x-4 като \left(3x^{2}-x\right)+\left(12x-4\right).

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(12x-4\right)$$

Фактор, x в първата и 4 във втората група.

$$x\left(3x-1\right)+4\left(3x-1\right)$$

Разложете на множители общия член 3x-1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3x-1\right)\left(x+4\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 3x-1=0 и x+4=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-4$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Добавете x^{2} от двете страни.

$$2x^{2}+14x-4+x^{2}=3x$$

Групирайте 2x^{2} и x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$3x^{2}+14x-4=3x$$

Извадете 3x и от двете страни.

$$3x^{2}+14x-4-3x=0$$

Групирайте 14x и -3x, за да получите 11x.

$$3x^{2}+11x-4=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 3 вместо a, 11 вместо b и -4 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Повдигане на квадрат на 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Умножете -4 по 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Умножете -12 по -4.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\times 3}$$

Съберете 121 с 48.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Получете корен квадратен от 169.

$$x=\frac{-11±13}{2\times 3}$$

Умножете 2 по 3.

$$x=\frac{-11±13}{6}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-11±13}{6}, когато ± е плюс. Съберете -11 с 13.

$$x=\frac{2}{6}$$

Намаляване на дробта \frac{2}{6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-11±13}{6}, когато ± е минус. Извадете 13 от -11.

$$x=-\frac{24}{6}$$

Разделете -24 на 6.

$$x=-4$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{1}{3} x=-4$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Добавете x^{2} от двете страни.

$$2x^{2}+14x-4+x^{2}=3x$$

Групирайте 2x^{2} и x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$3x^{2}+14x-4=3x$$

Извадете 3x и от двете страни.

$$3x^{2}+14x-4-3x=0$$

Групирайте 14x и -3x, за да получите 11x.

$$3x^{2}+11x-4=0$$

Добавете 4 от двете страни. Нещо плюс нула дава същото нещо.

$$3x^{2}+11x=4$$

Разделете двете страни на 3.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=\frac{4}{3}$$

Делението на 3 отменя умножението по 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=\frac{4}{3}$$

Разделете \frac{11}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{11}{6}. След това съберете квадрата на \frac{11}{6} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{11}{6}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

Съберете \frac{4}{3} и \frac{121}{36}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

Извадете \frac{11}{6} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{1}{3} x=-4$$