Решете 2x=2y+14text{ANO}3y=-5x+3

$$2 x = 2 y + 14 \text { ANO } 3 y = - 5 x + 3$$

Решаване за x, y

$$x=3$$

$$y=-4$$

Стъпки с използване на субституция

Сметнете първото уравнение. Извадете 2y и от двете страни.

$$2x-2y=14$$

Сметнете второто уравнение. Добавете 5x от двете страни.

$$3y+5x=3$$

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$2x-2y=14$$

Съберете 2y към двете страни на уравнението.

$$2x=2y+14$$

Разделете двете страни на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(2y+14\right)$$

Умножете \frac{1}{2} по 14+2y.

$$x=y+7$$

Заместете y+7 вместо x в другото уравнение, 5x+3y=3.

$$5\left(y+7\right)+3y=3$$

Умножете 5 по y+7.

$$5y+35+3y=3$$

Съберете 5y с 3y.

$$8y+35=3$$

Извадете 35 и от двете страни на уравнението.

$$8y=-32$$

Разделете двете страни на 8.

$$y=-4$$

Заместете -4 вместо y в x=y+7. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=-4+7$$

Съберете 7 с -4.

$$x=3$$

Системата сега е решена.

$$x=3,y=-4$$

Стъпки с използване на матрици

Сметнете първото уравнение. Извадете 2y и от двете страни.

$$2x-2y=14$$

Сметнете второто уравнение. Добавете 5x от двете страни.

$$3y+5x=3$$

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{16}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}\times 14+\frac{1}{8}\times 3\\-\frac{5}{16}\times 14+\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=3,y=-4$$

Стъпки за използване на елиминиране

Сметнете първото уравнение. Извадете 2y и от двете страни.

$$2x-2y=14$$

Сметнете второто уравнение. Добавете 5x от двете страни.

$$3y+5x=3$$

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

За да направите 2x и 5x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по 5, а всички членове от двете страни на второто по 2.

$$5\times 2x+5\left(-2\right)y=5\times 14,2\times 5x+2\times 3y=2\times 3$$

Опростявайте.

$$10x-10y=70,10x+6y=6$$

Извадете 10x+6y=6 от 10x-10y=70, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$10x-10x-10y-6y=70-6$$

Съберете 10x с -10x. Условията 10x и -10x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$-10y-6y=70-6$$

Съберете -10y с -6y.

$$-16y=70-6$$

Съберете 70 с -6.

$$-16y=64$$

Разделете двете страни на -16.

$$y=-4$$

Заместете -4 вместо y в 5x+3y=3. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$5x+3\left(-4\right)=3$$

Умножете 3 по -4.

$$5x-12=3$$

Съберете 12 към двете страни на уравнението.

$$5x=15$$

Разделете двете страни на 5.

$$x=3$$

Системата сега е решена.

$$x=3,y=-4$$