Решете 2x+y=1text{and}x-y=-4

$$2 x + y = 1 \text { and } x - y = - 4$$

Решаване за x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Стъпки с използване на субституция

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$2x+y=1$$

Извадете y и от двете страни на уравнението.

$$2x=-y+1$$

Разделете двете страни на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

Умножете \frac{1}{2} по -y+1.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Заместете \frac{-y+1}{2} вместо x в другото уравнение, x-y=-4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-y=-4$$

Съберете -\frac{y}{2} с -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=-4$$

Извадете \frac{1}{2} и от двете страни на уравнението.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

Разделете двете страни на уравнението на -\frac{3}{2}, което е същото като умножаване на двете страни по обратната стойност на дробта.

$$y=3$$

Заместете 3 вместо y в x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}$$

Умножете -\frac{1}{2} по 3.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Съберете \frac{1}{2} и -\frac{3}{2}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x=-1$$

Системата сега е решена.

$$x=-1,y=3$$

Стъпки с използване на матрици

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=-1,y=3$$

Стъпки за използване на елиминиране

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

За да направите 2x и x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по 1, а всички членове от двете страни на второто по 2.

$$2x+y=1,2x+2\left(-1\right)y=2\left(-4\right)$$

Опростявайте.

$$2x+y=1,2x-2y=-8$$

Извадете 2x-2y=-8 от 2x+y=1, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$2x-2x+y+2y=1+8$$

Съберете 2x с -2x. Условията 2x и -2x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$y+2y=1+8$$

Съберете y с 2y.

$$3y=1+8$$

Съберете 1 с 8.

$$3y=9$$

Разделете двете страни на 3.

$$y=3$$

Заместете 3 вместо y в x-y=-4. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x-3=-4$$

Съберете 3 към двете страни на уравнението.

$$x=-1$$

Системата сега е решена.

$$x=-1,y=3$$