Решете 2(x-1)^3=63/4

$$2 ( x - 1 ) ^ { 3 } = 6 \frac { 3 } { 4 }$$

Решаване за x (complex solution)

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

$$x=\frac{1+3\sqrt{3}i}{4}\approx 0,25+1,299038106i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{4}\approx 0,25-1,299038106i$$

Стъпки на решението

Умножете и двете страни на уравнението по 4.

$$8\left(x-1\right)^{3}=6\times 4+3$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}, за да разложите \left(x-1\right)^{3}.

$$8\left(x^{3}-3x^{2}+3x-1\right)=6\times 4+3$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 8 по x^{3}-3x^{2}+3x-1.

$$8x^{3}-24x^{2}+24x-8=6\times 4+3$$

Умножете 6 по 4, за да получите 24.

$$8x^{3}-24x^{2}+24x-8=24+3$$

Съберете 24 и 3, за да се получи 27.

$$8x^{3}-24x^{2}+24x-8=27$$

Извадете 27 и от двете страни.

$$8x^{3}-24x^{2}+24x-8-27=0$$

Извадете 27 от -8, за да получите -35.

$$8x^{3}-24x^{2}+24x-35=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -35, а q разделя водещия коефициент 8. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{35}{8},±\frac{35}{4},±\frac{35}{2},±35,±\frac{7}{8},±\frac{7}{4},±\frac{7}{2},±7,±\frac{5}{8},±\frac{5}{4},±\frac{5}{2},±5,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=\frac{5}{2}$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 8x^{3}-24x^{2}+24x-35 на 2\left(x-\frac{5}{2}\right)=2x-5, за да получите 4x^{2}-2x+7. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$4x^{2}-2x+7=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 4 за a, -2 за b и 7 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{2±\sqrt{-108}}{8}$$

Решете уравнението 4x^{2}-2x+7=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\frac{-3i\sqrt{3}+1}{4} x=\frac{1+3i\sqrt{3}}{4}$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=\frac{5}{2} x=\frac{-3i\sqrt{3}+1}{4} x=\frac{1+3i\sqrt{3}}{4}$$

Решаване за x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Стъпки на решението

Умножете и двете страни на уравнението по 4.

$$8\left(x-1\right)^{3}=6\times 4+3$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}, за да разложите \left(x-1\right)^{3}.

$$8\left(x^{3}-3x^{2}+3x-1\right)=6\times 4+3$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 8 по x^{3}-3x^{2}+3x-1.

$$8x^{3}-24x^{2}+24x-8=6\times 4+3$$

Умножете 6 по 4, за да получите 24.

$$8x^{3}-24x^{2}+24x-8=24+3$$

Съберете 24 и 3, за да се получи 27.

$$8x^{3}-24x^{2}+24x-8=27$$

Извадете 27 и от двете страни.

$$8x^{3}-24x^{2}+24x-8-27=0$$

Извадете 27 от -8, за да получите -35.

$$8x^{3}-24x^{2}+24x-35=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -35, а q разделя водещия коефициент 8. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{35}{8},±\frac{35}{4},±\frac{35}{2},±35,±\frac{7}{8},±\frac{7}{4},±\frac{7}{2},±7,±\frac{5}{8},±\frac{5}{4},±\frac{5}{2},±5,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=\frac{5}{2}$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 8x^{3}-24x^{2}+24x-35 на 2\left(x-\frac{5}{2}\right)=2x-5, за да получите 4x^{2}-2x+7. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$4x^{2}-2x+7=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 4 за a, -2 за b и 7 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{2±\sqrt{-108}}{8}$$

Тъй като квадратният корен на отрицателно число не е дефиниран за реални числа, няма решения.

$$x\in \emptyset$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=\frac{5}{2}$$