Решете 2(1+x)^2=242

$$2 ( 1 + x ) ^ { 2 } = 242$$

Решаване за x

$$x=10$$

$$x=-12$$

Стъпки с разлагане на множители

Разделете двете страни на 2.

$$\left(1+x\right)^{2}=\frac{242}{2}$$

Разделете 242 на 2, за да получите 121.

$$\left(1+x\right)^{2}=121$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(1+x\right)^{2}.

$$1+2x+x^{2}=121$$

Извадете 121 и от двете страни.

$$1+2x+x^{2}-121=0$$

Извадете 121 от 1, за да получите -120.

$$-120+2x+x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$x^{2}+2x-120=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът x^{2}+2x-120 с помощта на формула x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=2 ab=-120$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -120 на продукта.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Решението е двойката, която дава сума 2.

$$a=-10 b=12$$

Пренапишете разложения на множители израз \left(x+a\right)\left(x+b\right) с помощта на получените стойности.

$$\left(x-10\right)\left(x+12\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-10=0 и x+12=0.

$$x=10 x=-12$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Разделете двете страни на 2.

$$\left(1+x\right)^{2}=\frac{242}{2}$$

Разделете 242 на 2, за да получите 121.

$$\left(1+x\right)^{2}=121$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(1+x\right)^{2}.

$$1+2x+x^{2}=121$$

Извадете 121 и от двете страни.

$$1+2x+x^{2}-121=0$$

Извадете 121 от 1, за да получите -120.

$$-120+2x+x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$x^{2}+2x-120=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като x^{2}+ax+bx-120. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=2 ab=1\left(-120\right)=-120$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -120 на продукта.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Решението е двойката, която дава сума 2.

$$a=-10 b=12$$

Напишете x^{2}+2x-120 като \left(x^{2}-10x\right)+\left(12x-120\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(12x-120\right)$$

Фактор, x в първата и 12 във втората група.

$$x\left(x-10\right)+12\left(x-10\right)$$

Разложете на множители общия член x-10, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-10\right)\left(x+12\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-10=0 и x+12=0.

$$x=10 x=-12$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Разделете двете страни на 2.

$$\left(1+x\right)^{2}=\frac{242}{2}$$

Разделете 242 на 2, за да получите 121.

$$\left(1+x\right)^{2}=121$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(1+x\right)^{2}.

$$1+2x+x^{2}=121$$

Извадете 121 и от двете страни.

$$1+2x+x^{2}-121=0$$

Извадете 121 от 1, за да получите -120.

$$-120+2x+x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x^{2}+2x-120=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 1 вместо a, 2 вместо b и -120 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-120\right)}}{2}$$

Повдигане на квадрат на 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-120\right)}}{2}$$

Умножете -4 по -120.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+480}}{2}$$

Съберете 4 с 480.

$$x=\frac{-2±\sqrt{484}}{2}$$

Получете корен квадратен от 484.

$$x=\frac{-2±22}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-2±22}{2}, когато ± е плюс. Съберете -2 с 22.

$$x=\frac{20}{2}$$

Разделете 20 на 2.

$$x=10$$

Сега решете уравнението x=\frac{-2±22}{2}, когато ± е минус. Извадете 22 от -2.

$$x=-\frac{24}{2}$$

Разделете -24 на 2.

$$x=-12$$

Уравнението сега е решено.

$$x=10 x=-12$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Разделете двете страни на 2.

$$\left(1+x\right)^{2}=\frac{242}{2}$$

Разделете 242 на 2, за да получите 121.

$$\left(1+x\right)^{2}=121$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(1+x\right)^{2}.

$$1+2x+x^{2}=121$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$2x+x^{2}=121-1$$

Извадете 1 от 121, за да получите 120.

$$2x+x^{2}=120$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+2x=120$$

Разделете 2 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите 1. След това съберете квадрата на 1 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+2x+1^{2}=120+1^{2}$$

Повдигане на квадрат на 1.

$$x^{2}+2x+1=120+1$$

Съберете 120 с 1.

$$x^{2}+2x+1=121$$

Разлагане на множители на x^{2}+2x+1. Като правило, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=121$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{121}$$

Опростявайте.

$$x+1=11 x+1=-11$$

Извадете 1 и от двете страни на уравнението.

$$x=10 x=-12$$