Решете 2x^2+3x+1>0

$$2 { x }^{ 2 } +3x+1 > 0$$

Решаване за x

$$x\in \left(-\infty,-1\right)\cup \left(-\frac{1}{2},\infty\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

За да решите неравенството, разложете на множители лявата страна. Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+3x+1=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 2 за a, 3 за b и 1 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-3±1}{4}$$

Решете уравнението x=\frac{-3±1}{4}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=-\frac{1}{2} x=-1$$

Напишете отново неравенство с помощта на получените решения.

$$2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+1\right)>0$$

За да бъде положително произведението, трябва и двата множителя x+\frac{1}{2} и x+1 да бъдат положителни или и двата да бъдат отрицателни. Разгледайте случая, когато x+\frac{1}{2} и x+1 са отрицателни.

$$x+\frac{1}{2}<0 x+1<0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x<-1.

$$x<-1$$

Разгледайте случая, когато x+\frac{1}{2} и x+1 са положителни.

$$x+1>0 x+\frac{1}{2}>0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x>-\frac{1}{2}.

$$x>-\frac{1}{2}$$

Крайното решение е обединението на получените решения.

$$x<-1\text{; }x>-\frac{1}{2}$$