Решете 2+y(1-3y)=y(y-3)

$$2 + y ( 1 - 3 y ) = y ( y - 3 )$$

Решаване за y

$$y = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$y=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите y по 1-3y.

$$2+y-3y^{2}=y\left(y-3\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите y по y-3.

$$2+y-3y^{2}=y^{2}-3y$$

Извадете y^{2} и от двете страни.

$$2+y-3y^{2}-y^{2}=-3y$$

Групирайте -3y^{2} и -y^{2}, за да получите -4y^{2}.

$$2+y-4y^{2}=-3y$$

Добавете 3y от двете страни.

$$2+y-4y^{2}+3y=0$$

Групирайте y и 3y, за да получите 4y.

$$2+4y-4y^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-4y^{2}+4y+2=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -4 вместо a, 4 вместо b и 2 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-4\right)\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Повдигане на квадрат на 4.

$$y=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-4\right)\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Умножете -4 по -4.

$$y=\frac{-4±\sqrt{16+16\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Умножете 16 по 2.

$$y=\frac{-4±\sqrt{16+32}}{2\left(-4\right)}$$

Съберете 16 с 32.

$$y=\frac{-4±\sqrt{48}}{2\left(-4\right)}$$

Получете корен квадратен от 48.

$$y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{2\left(-4\right)}$$

Умножете 2 по -4.

$$y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{-8}$$

Сега решете уравнението y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{-8}, когато ± е плюс. Съберете -4 с 4\sqrt{3}.

$$y=\frac{4\sqrt{3}-4}{-8}$$

Разделете -4+4\sqrt{3} на -8.

$$y=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Сега решете уравнението y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{-8}, когато ± е минус. Извадете 4\sqrt{3} от -4.

$$y=\frac{-4\sqrt{3}-4}{-8}$$

Разделете -4-4\sqrt{3} на -8.

$$y=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$y=\frac{1-\sqrt{3}}{2} y=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите y по 1-3y.

$$2+y-3y^{2}=y\left(y-3\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите y по y-3.

$$2+y-3y^{2}=y^{2}-3y$$

Извадете y^{2} и от двете страни.

$$2+y-3y^{2}-y^{2}=-3y$$

Групирайте -3y^{2} и -y^{2}, за да получите -4y^{2}.

$$2+y-4y^{2}=-3y$$

Добавете 3y от двете страни.

$$2+y-4y^{2}+3y=0$$

Групирайте y и 3y, за да получите 4y.

$$2+4y-4y^{2}=0$$

Извадете 2 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$4y-4y^{2}=-2$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-4y^{2}+4y=-2$$

Разделете двете страни на -4.

$$\frac{-4y^{2}+4y}{-4}=-\frac{2}{-4}$$

Делението на -4 отменя умножението по -4.

$$y^{2}+\frac{4}{-4}y=-\frac{2}{-4}$$

Разделете 4 на -4.

$$y^{2}-y=-\frac{2}{-4}$$

Намаляване на дробта \frac{-2}{-4} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$y^{2}-y=\frac{1}{2}$$

Разделете -1 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{1}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{1}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{1}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Съберете \frac{1}{2} и \frac{1}{4}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Разложете на множител y^{2}-y+\frac{1}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Опростявайте.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Съберете \frac{1}{2} към двете страни на уравнението.

$$y=\frac{\sqrt{3}+1}{2} y=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$