Решете 196=2x^2+16+8x+x^2+4x

$$196 = 2 x ^ { 2 } + 16 + 8 x + x ^ { 2 } + 4 x$$

Решаване за x

$$x=-10$$

$$x=6$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Групирайте 2x^{2} и x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$196=3x^{2}+16+8x+4x$$

Групирайте 8x и 4x, за да получите 12x.

$$196=3x^{2}+16+12x$$

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$3x^{2}+16+12x=196$$

Извадете 196 и от двете страни.

$$3x^{2}+16+12x-196=0$$

Извадете 196 от 16, за да получите -180.

$$3x^{2}-180+12x=0$$

Разделете двете страни на 3.

$$x^{2}-60+4x=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$x^{2}+4x-60=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като x^{2}+ax+bx-60. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=4 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -60 на продукта.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Решението е двойката, която дава сума 4.

$$a=-6 b=10$$

Напишете x^{2}+4x-60 като \left(x^{2}-6x\right)+\left(10x-60\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(10x-60\right)$$

Фактор, x в първата и 10 във втората група.

$$x\left(x-6\right)+10\left(x-6\right)$$

Разложете на множители общия член x-6, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-6\right)\left(x+10\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-6=0 и x+10=0.

$$x=6 x=-10$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Групирайте 2x^{2} и x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$196=3x^{2}+16+8x+4x$$

Групирайте 8x и 4x, за да получите 12x.

$$196=3x^{2}+16+12x$$

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$3x^{2}+16+12x=196$$

Извадете 196 и от двете страни.

$$3x^{2}+16+12x-196=0$$

Извадете 196 от 16, за да получите -180.

$$3x^{2}-180+12x=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$3x^{2}+12x-180=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 3 вместо a, 12 вместо b и -180 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 3\left(-180\right)}}{2\times 3}$$

Повдигане на квадрат на 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 3\left(-180\right)}}{2\times 3}$$

Умножете -4 по 3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-12\left(-180\right)}}{2\times 3}$$

Умножете -12 по -180.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+2160}}{2\times 3}$$

Съберете 144 с 2160.

$$x=\frac{-12±\sqrt{2304}}{2\times 3}$$

Получете корен квадратен от 2304.

$$x=\frac{-12±48}{2\times 3}$$

Умножете 2 по 3.

$$x=\frac{-12±48}{6}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-12±48}{6}, когато ± е плюс. Съберете -12 с 48.

$$x=\frac{36}{6}$$

Разделете 36 на 6.

$$x=6$$

Сега решете уравнението x=\frac{-12±48}{6}, когато ± е минус. Извадете 48 от -12.

$$x=-\frac{60}{6}$$

Разделете -60 на 6.

$$x=-10$$

Уравнението сега е решено.

$$x=6 x=-10$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Групирайте 2x^{2} и x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$196=3x^{2}+16+8x+4x$$

Групирайте 8x и 4x, за да получите 12x.

$$196=3x^{2}+16+12x$$

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$3x^{2}+16+12x=196$$

Извадете 16 и от двете страни.

$$3x^{2}+12x=196-16$$

Извадете 16 от 196, за да получите 180.

$$3x^{2}+12x=180$$

Разделете двете страни на 3.

$$\frac{3x^{2}+12x}{3}=\frac{180}{3}$$

Делението на 3 отменя умножението по 3.

$$x^{2}+\frac{12}{3}x=\frac{180}{3}$$

Разделете 12 на 3.

$$x^{2}+4x=\frac{180}{3}$$

Разделете 180 на 3.

$$x^{2}+4x=60$$

Разделете 4 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите 2. След това съберете квадрата на 2 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+4x+2^{2}=60+2^{2}$$

Повдигане на квадрат на 2.

$$x^{2}+4x+4=60+4$$

Съберете 60 с 4.

$$x^{2}+4x+4=64$$

Разложете на множител x^{2}+4x+4. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=64$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Опростявайте.

$$x+2=8 x+2=-8$$

Извадете 2 и от двете страни на уравнението.

$$x=6 x=-10$$