Решете 180=3x+x^2

$$180 = 3 x + x ^ { 2 }$$

Решаване за x

$$x=-15$$

$$x=12$$

Стъпки с разлагане на множители

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$3x+x^{2}=180$$

Извадете 180 и от двете страни.

$$3x+x^{2}-180=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$x^{2}+3x-180=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът x^{2}+3x-180 с помощта на формула x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=3 ab=-180$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -180 на продукта.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Решението е двойката, която дава сума 3.

$$a=-12 b=15$$

Пренапишете разложения на множители израз \left(x+a\right)\left(x+b\right) с помощта на получените стойности.

$$\left(x-12\right)\left(x+15\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-12=0 и x+15=0.

$$x=12 x=-15$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$3x+x^{2}=180$$

Извадете 180 и от двете страни.

$$3x+x^{2}-180=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$x^{2}+3x-180=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като x^{2}+ax+bx-180. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=3 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -180 на продукта.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Решението е двойката, която дава сума 3.

$$a=-12 b=15$$

Напишете x^{2}+3x-180 като \left(x^{2}-12x\right)+\left(15x-180\right).

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(15x-180\right)$$

Фактор, x в първата и 15 във втората група.

$$x\left(x-12\right)+15\left(x-12\right)$$

Разложете на множители общия член x-12, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-12\right)\left(x+15\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-12=0 и x+15=0.

$$x=12 x=-15$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$3x+x^{2}=180$$

Извадете 180 и от двете страни.

$$3x+x^{2}-180=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x^{2}+3x-180=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 1 вместо a, 3 вместо b и -180 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Повдигане на квадрат на 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-180\right)}}{2}$$

Умножете -4 по -180.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2}$$

Съберете 9 с 720.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2}$$

Получете корен квадратен от 729.

$$x=\frac{-3±27}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-3±27}{2}, когато ± е плюс. Съберете -3 с 27.

$$x=\frac{24}{2}$$

Разделете 24 на 2.

$$x=12$$

Сега решете уравнението x=\frac{-3±27}{2}, когато ± е минус. Извадете 27 от -3.

$$x=-\frac{30}{2}$$

Разделете -30 на 2.

$$x=-15$$

Уравнението сега е решено.

$$x=12 x=-15$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$3x+x^{2}=180$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x=180$$

Разделете 3 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{3}{2}. След това съберете квадрата на \frac{3}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=180+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{3}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=180+\frac{9}{4}$$

Съберете 180 с \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{729}{4}$$

Разложете на множител x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{27}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{27}{2}$$

Извадете \frac{3}{2} и от двете страни на уравнението.

$$x=12 x=-15$$