Решете 18x+11y=522text{and}10x=112-16y

$$18 x + 11 y = 522 \text { and } 10 x = 112 - 16 y$$

Решаване за x, y

$$x=40$$

$$y=-18$$

Стъпки с използване на субституция

Сметнете второто уравнение. Добавете 16y от двете страни.

$$10x+16y=112$$

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$18x+11y=522,10x+16y=112$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$18x+11y=522$$

Извадете 11y и от двете страни на уравнението.

$$18x=-11y+522$$

Разделете двете страни на 18.

$$x=\frac{1}{18}\left(-11y+522\right)$$

Умножете \frac{1}{18} по -11y+522.

$$x=-\frac{11}{18}y+29$$

Заместете -\frac{11y}{18}+29 вместо x в другото уравнение, 10x+16y=112.

$$10\left(-\frac{11}{18}y+29\right)+16y=112$$

Умножете 10 по -\frac{11y}{18}+29.

$$-\frac{55}{9}y+290+16y=112$$

Съберете -\frac{55y}{9} с 16y.

$$\frac{89}{9}y+290=112$$

Извадете 290 и от двете страни на уравнението.

$$\frac{89}{9}y=-178$$

Разделете двете страни на уравнението на \frac{89}{9}, което е същото като умножаване на двете страни по обратната стойност на дробта.

$$y=-18$$

Заместете -18 вместо y в x=-\frac{11}{18}y+29. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=-\frac{11}{18}\left(-18\right)+29$$

Умножете -\frac{11}{18} по -18.

$$x=11+29$$

Съберете 29 с 11.

$$x=40$$

Системата сега е решена.

$$x=40,y=-18$$

Стъпки с използване на матрици

Сметнете второто уравнение. Добавете 16y от двете страни.

$$10x+16y=112$$

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$18x+11y=522,10x+16y=112$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{18\times 16-11\times 10}&-\frac{11}{18\times 16-11\times 10}\\-\frac{10}{18\times 16-11\times 10}&\frac{18}{18\times 16-11\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{89}&-\frac{11}{178}\\-\frac{5}{89}&\frac{9}{89}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{89}\times 522-\frac{11}{178}\times 112\\-\frac{5}{89}\times 522+\frac{9}{89}\times 112\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\-18\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=40,y=-18$$

Стъпки за използване на елиминиране

Сметнете второто уравнение. Добавете 16y от двете страни.

$$10x+16y=112$$

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$18x+11y=522,10x+16y=112$$

За да направите 18x и 10x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по 10, а всички членове от двете страни на второто по 18.

$$10\times 18x+10\times 11y=10\times 522,18\times 10x+18\times 16y=18\times 112$$

Опростявайте.

$$180x+110y=5220,180x+288y=2016$$

Извадете 180x+288y=2016 от 180x+110y=5220, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$180x-180x+110y-288y=5220-2016$$

Съберете 180x с -180x. Условията 180x и -180x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$110y-288y=5220-2016$$

Съберете 110y с -288y.

$$-178y=5220-2016$$

Съберете 5220 с -2016.

$$-178y=3204$$

Разделете двете страни на -178.

$$y=-18$$

Заместете -18 вместо y в 10x+16y=112. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$10x+16\left(-18\right)=112$$

Умножете 16 по -18.

$$10x-288=112$$

Съберете 288 към двете страни на уравнението.

$$10x=400$$

Разделете двете страни на 10.

$$x=40$$

Системата сега е решена.

$$x=40,y=-18$$