Решете 18t^2-9t-5

$$18 t ^ { 2 } - 9 t - 5$$

Разлагане на множители

$$\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 18t^{2}+at+bt-5. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -90 на продукта.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Решението е двойката, която дава сума -9.

$$a=-15 b=6$$

Напишете 18t^{2}-9t-5 като \left(18t^{2}-15t\right)+\left(6t-5\right).

$$\left(18t^{2}-15t\right)+\left(6t-5\right)$$

Разложете на множители 3t в 18t^{2}-15t.

$$3t\left(6t-5\right)+6t-5$$

Разложете на множители общия член 6t-5, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$18t^{2}-9t-5=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Повдигане на квадрат на -9.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Умножете -4 по 18.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Умножете -72 по -5.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Съберете 81 с 360.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Получете корен квадратен от 441.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

Противоположното на -9 е 9.

$$t=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Умножете 2 по 18.

$$t=\frac{9±21}{36}$$

Сега решете уравнението t=\frac{9±21}{36}, когато ± е плюс. Съберете 9 с 21.

$$t=\frac{30}{36}$$

Намаляване на дробта \frac{30}{36} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$t=\frac{5}{6}$$

Сега решете уравнението t=\frac{9±21}{36}, когато ± е минус. Извадете 21 от 9.

$$t=-\frac{12}{36}$$

Намаляване на дробта \frac{-12}{36} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 12.

$$t=-\frac{1}{3}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{5}{6} и x_{2} с -\frac{1}{3}.

$$18t^{2}-9t-5=18\left(t-\frac{5}{6}\right)\left(t-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$18t^{2}-9t-5=18\left(t-\frac{5}{6}\right)\left(t+\frac{1}{3}\right)$$

Извадете \frac{5}{6} от t, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$18t^{2}-9t-5=18\times \frac{6t-5}{6}\left(t+\frac{1}{3}\right)$$

Съберете \frac{1}{3} и t, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$18t^{2}-9t-5=18\times \frac{6t-5}{6}\times \frac{3t+1}{3}$$

Умножете \frac{6t-5}{6} по \frac{3t+1}{3}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$18t^{2}-9t-5=18\times \frac{\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)}{6\times 3}$$

Умножете 6 по 3.

$$18t^{2}-9t-5=18\times \frac{\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)}{18}$$

Съкратете най-големия общ множител 18 в 18 и 18.

$$18t^{2}-9t-5=\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)$$

Изчисляване

$$\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)$$