Решете 18x^2+33x=180

$$18 { x }^{ 2 } +33x=180$$

Решаване за x

$$x = \frac{\sqrt{1561} - 11}{12} \approx 2,375791044$$

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}\approx -4,209124378$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$18x^{2}+33x=180$$

Извадете 180 и от двете страни на уравнението.

$$18x^{2}+33x-180=180-180$$

Изваждане на 180 от самото него дава 0.

$$18x^{2}+33x-180=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 18 вместо a, 33 вместо b и -180 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 18\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

Повдигане на квадрат на 33.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 18\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

Умножете -4 по 18.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-72\left(-180\right)}}{2\times 18}$$

Умножете -72 по -180.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+12960}}{2\times 18}$$

Съберете 1089 с 12960.

$$x=\frac{-33±\sqrt{14049}}{2\times 18}$$

Получете корен квадратен от 14049.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{2\times 18}$$

Умножете 2 по 18.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36}, когато ± е плюс. Съберете -33 с 3\sqrt{1561}.

$$x=\frac{3\sqrt{1561}-33}{36}$$

Разделете -33+3\sqrt{1561} на 36.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{36}, когато ± е минус. Извадете 3\sqrt{1561} от -33.

$$x=\frac{-3\sqrt{1561}-33}{36}$$

Разделете -33-3\sqrt{1561} на 36.

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}+33x=180$$

Разделете двете страни на 18.

$$\frac{18x^{2}+33x}{18}=\frac{180}{18}$$

Делението на 18 отменя умножението по 18.

$$x^{2}+\frac{33}{18}x=\frac{180}{18}$$

Намаляване на дробта \frac{33}{18} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 3.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=\frac{180}{18}$$

Разделете 180 на 18.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=10$$

Разделете \frac{11}{6} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{11}{12}. След това съберете квадрата на \frac{11}{12} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=10+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{11}{12}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=10+\frac{121}{144}$$

Съберете 10 с \frac{121}{144}.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{1561}{144}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{1561}{144}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1561}{144}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{\sqrt{1561}}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{\sqrt{1561}}{12}$$

Извадете \frac{11}{12} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{12} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{12}$$