Решете 16x^2-8x-3

$$16 x ^ { 2 } - 8 x - 3$$

Разлагане на множители

$$\left(4x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 16x^{2}+ax+bx-3. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-8 ab=16\left(-3\right)=-48$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -48 на продукта.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Решението е двойката, която дава сума -8.

$$a=-12 b=4$$

Напишете 16x^{2}-8x-3 като \left(16x^{2}-12x\right)+\left(4x-3\right).

$$\left(16x^{2}-12x\right)+\left(4x-3\right)$$

Разложете на множители 4x в 16x^{2}-12x.

$$4x\left(4x-3\right)+4x-3$$

Разложете на множители общия член 4x-3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(4x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$16x^{2}-8x-3=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Повдигане на квадрат на -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Умножете -4 по 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-64\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Умножете -64 по -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+192}}{2\times 16}$$

Съберете 64 с 192.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

Получете корен квадратен от 256.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±16}{2\times 16}$$

Противоположното на -8 е 8.

$$x=\frac{8±16}{2\times 16}$$

Умножете 2 по 16.

$$x=\frac{8±16}{32}$$

Сега решете уравнението x=\frac{8±16}{32}, когато ± е плюс. Съберете 8 с 16.

$$x=\frac{24}{32}$$

Намаляване на дробта \frac{24}{32} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 8.

$$x=\frac{3}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{8±16}{32}, когато ± е минус. Извадете 16 от 8.

$$x=-\frac{8}{32}$$

Намаляване на дробта \frac{-8}{32} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 8.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{3}{4} и x_{2} с -\frac{1}{4}.

$$16x^{2}-8x-3=16\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$16x^{2}-8x-3=16\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Извадете \frac{3}{4} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$16x^{2}-8x-3=16\times \frac{4x-3}{4}\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Съберете \frac{1}{4} и x, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$16x^{2}-8x-3=16\times \frac{4x-3}{4}\times \frac{4x+1}{4}$$

Умножете \frac{4x-3}{4} по \frac{4x+1}{4}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$16x^{2}-8x-3=16\times \frac{\left(4x-3\right)\left(4x+1\right)}{4\times 4}$$

Умножете 4 по 4.

$$16x^{2}-8x-3=16\times \frac{\left(4x-3\right)\left(4x+1\right)}{16}$$

Съкратете най-големия общ множител 16 в 16 и 16.

$$16x^{2}-8x-3=\left(4x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Изчисляване

$$\left(4x-3\right)\left(4x+1\right)$$