Решете 16x^2-56x+49

$$16 x ^ { 2 } - 56 x + 49$$

Разлагане на множители

$$\left(4x-7\right)^{2}$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 16x^{2}+ax+bx+49. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-56 ab=16\times 49=784$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 784 на продукта.

$$-1,-784 -2,-392 -4,-196 -7,-112 -8,-98 -14,-56 -16,-49 -28,-28$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-784=-785 -2-392=-394 -4-196=-200 -7-112=-119 -8-98=-106 -14-56=-70 -16-49=-65 -28-28=-56$$

Решението е двойката, която дава сума -56.

$$a=-28 b=-28$$

Напишете 16x^{2}-56x+49 като \left(16x^{2}-28x\right)+\left(-28x+49\right).

$$\left(16x^{2}-28x\right)+\left(-28x+49\right)$$

Фактор, 4x в първата и -7 във втората група.

$$4x\left(4x-7\right)-7\left(4x-7\right)$$

Разложете на множители общия член 4x-7, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(4x-7\right)\left(4x-7\right)$$

Преобразуване като биномен квадрат.

$$\left(4x-7\right)^{2}$$

Стъпки с квадрат на двучлен

Този тричлен има формата на тричленен квадрат, може би умножена с общ множител. Тричленните квадрати могат да се разложат чрез намиране на квадратните корени на първия и последния член.

$$factor(16x^{2}-56x+49)$$

Намерете най-големия общ множител на коефициентите.

$$gcf(16,-56,49)=1$$

Намерете корен квадратен от първия член, 16x^{2}.

$$\sqrt{16x^{2}}=4x$$

Намерете корен квадратен от последния член, 49.

$$\sqrt{49}=7$$

Квадратът на тричлен е квадратът на бинома, който е сумата или разликата на квадратните корени на първия и последния член, като знакът се определя от знака на средния член на квадрата на тричлена.

$$\left(4x-7\right)^{2}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$16x^{2}-56x+49=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{\left(-56\right)^{2}-4\times 16\times 49}}{2\times 16}$$

Повдигане на квадрат на -56.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-4\times 16\times 49}}{2\times 16}$$

Умножете -4 по 16.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-64\times 49}}{2\times 16}$$

Умножете -64 по 49.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-3136}}{2\times 16}$$

Съберете 3136 с -3136.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{0}}{2\times 16}$$

Получете корен квадратен от 0.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±0}{2\times 16}$$

Противоположното на -56 е 56.

$$x=\frac{56±0}{2\times 16}$$

Умножете 2 по 16.

$$x=\frac{56±0}{32}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{7}{4} и x_{2} с \frac{7}{4}.

$$16x^{2}-56x+49=16\left(x-\frac{7}{4}\right)\left(x-\frac{7}{4}\right)$$

Извадете \frac{7}{4} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$16x^{2}-56x+49=16\times \frac{4x-7}{4}\left(x-\frac{7}{4}\right)$$

Извадете \frac{7}{4} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$16x^{2}-56x+49=16\times \frac{4x-7}{4}\times \frac{4x-7}{4}$$

Умножете \frac{4x-7}{4} по \frac{4x-7}{4}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$16x^{2}-56x+49=16\times \frac{\left(4x-7\right)\left(4x-7\right)}{4\times 4}$$

Умножете 4 по 4.

$$16x^{2}-56x+49=16\times \frac{\left(4x-7\right)\left(4x-7\right)}{16}$$

Съкратете най-големия общ множител 16 в 16 и 16.

$$16x^{2}-56x+49=\left(4x-7\right)\left(4x-7\right)$$

Изчисляване

$$\left(4x-7\right)^{2}$$