Решете 15x^2-525x-4500=0

$$15 x ^ { 2 } - 525 x - 4500 = 0$$

Решаване за x

$$x = \frac{5 \sqrt{97} + 35}{2} \approx 42,122144504$$

$$x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}\approx -7,122144504$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$15x^{2}-525x-4500=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 15 вместо a, -525 вместо b и -4500 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{\left(-525\right)^{2}-4\times 15\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Повдигане на квадрат на -525.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625-4\times 15\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Умножете -4 по 15.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625-60\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Умножете -60 по -4500.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625+270000}}{2\times 15}$$

Съберете 275625 с 270000.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{545625}}{2\times 15}$$

Получете корен квадратен от 545625.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±75\sqrt{97}}{2\times 15}$$

Противоположното на -525 е 525.

$$x=\frac{525±75\sqrt{97}}{2\times 15}$$

Умножете 2 по 15.

$$x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30}$$

Сега решете уравнението x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30}, когато ± е плюс. Съберете 525 с 75\sqrt{97}.

$$x=\frac{75\sqrt{97}+525}{30}$$

Разделете 525+75\sqrt{97} на 30.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30}, когато ± е минус. Извадете 75\sqrt{97} от 525.

$$x=\frac{525-75\sqrt{97}}{30}$$

Разделете 525-75\sqrt{97} на 30.

$$x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2} x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}-525x-4500=0$$

Съберете 4500 към двете страни на уравнението.

$$15x^{2}-525x-4500-\left(-4500\right)=-\left(-4500\right)$$

Изваждане на -4500 от самото него дава 0.

$$15x^{2}-525x=-\left(-4500\right)$$

Извадете -4500 от 0.

$$15x^{2}-525x=4500$$

Разделете двете страни на 15.

$$\frac{15x^{2}-525x}{15}=\frac{4500}{15}$$

Делението на 15 отменя умножението по 15.

$$x^{2}+\left(-\frac{525}{15}\right)x=\frac{4500}{15}$$

Разделете -525 на 15.

$$x^{2}-35x=\frac{4500}{15}$$

Разделете 4500 на 15.

$$x^{2}-35x=300$$

Разделете -35 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{35}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{35}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-35x+\left(-\frac{35}{2}\right)^{2}=300+\left(-\frac{35}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{35}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-35x+\frac{1225}{4}=300+\frac{1225}{4}$$

Съберете 300 с \frac{1225}{4}.

$$x^{2}-35x+\frac{1225}{4}=\frac{2425}{4}$$

Разложете на множител x^{2}-35x+\frac{1225}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{35}{2}\right)^{2}=\frac{2425}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2425}{4}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{35}{2}=\frac{5\sqrt{97}}{2} x-\frac{35}{2}=-\frac{5\sqrt{97}}{2}$$

Съберете \frac{35}{2} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2} x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$