Решете 15x^2+58x+48

$$15 x ^ { 2 } + 58 x + 48$$

Разлагане на множители

$$\left(3x+8\right)\left(5x+6\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 15x^{2}+ax+bx+48. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=58 ab=15\times 48=720$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 720 на продукта.

$$1,720 2,360 3,240 4,180 5,144 6,120 8,90 9,80 10,72 12,60 15,48 16,45 18,40 20,36 24,30$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+720=721 2+360=362 3+240=243 4+180=184 5+144=149 6+120=126 8+90=98 9+80=89 10+72=82 12+60=72 15+48=63 16+45=61 18+40=58 20+36=56 24+30=54$$

Решението е двойката, която дава сума 58.

$$a=18 b=40$$

Напишете 15x^{2}+58x+48 като \left(15x^{2}+18x\right)+\left(40x+48\right).

$$\left(15x^{2}+18x\right)+\left(40x+48\right)$$

Фактор, 3x в първата и 8 във втората група.

$$3x\left(5x+6\right)+8\left(5x+6\right)$$

Разложете на множители общия член 5x+6, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(5x+6\right)\left(3x+8\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}+58x+48=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-58±\sqrt{58^{2}-4\times 15\times 48}}{2\times 15}$$

Повдигане на квадрат на 58.

$$x=\frac{-58±\sqrt{3364-4\times 15\times 48}}{2\times 15}$$

Умножете -4 по 15.

$$x=\frac{-58±\sqrt{3364-60\times 48}}{2\times 15}$$

Умножете -60 по 48.

$$x=\frac{-58±\sqrt{3364-2880}}{2\times 15}$$

Съберете 3364 с -2880.

$$x=\frac{-58±\sqrt{484}}{2\times 15}$$

Получете корен квадратен от 484.

$$x=\frac{-58±22}{2\times 15}$$

Умножете 2 по 15.

$$x=\frac{-58±22}{30}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-58±22}{30}, когато ± е плюс. Съберете -58 с 22.

$$x=-\frac{36}{30}$$

Намаляване на дробта \frac{-36}{30} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-58±22}{30}, когато ± е минус. Извадете 22 от -58.

$$x=-\frac{80}{30}$$

Намаляване на дробта \frac{-80}{30} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 10.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с -\frac{6}{5} и x_{2} с -\frac{8}{3}.

$$15x^{2}+58x+48=15\left(x-\left(-\frac{6}{5}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{8}{3}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$15x^{2}+58x+48=15\left(x+\frac{6}{5}\right)\left(x+\frac{8}{3}\right)$$

Съберете \frac{6}{5} и x, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$15x^{2}+58x+48=15\times \frac{5x+6}{5}\left(x+\frac{8}{3}\right)$$

Съберете \frac{8}{3} и x, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$15x^{2}+58x+48=15\times \frac{5x+6}{5}\times \frac{3x+8}{3}$$

Умножете \frac{5x+6}{5} по \frac{3x+8}{3}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$15x^{2}+58x+48=15\times \frac{\left(5x+6\right)\left(3x+8\right)}{5\times 3}$$

Умножете 5 по 3.

$$15x^{2}+58x+48=15\times \frac{\left(5x+6\right)\left(3x+8\right)}{15}$$

Съкратете най-големия общ множител 15 в 15 и 15.

$$15x^{2}+58x+48=\left(5x+6\right)\left(3x+8\right)$$

Изчисляване

$$\left(3x+8\right)\left(5x+6\right)$$