Решете 15b^2-100b-160

$$15 b ^ { 2 } - 100 b - 160$$

Разлагане на множители

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Стъпки на решението

Разложете на множители 5.

$$5\left(3b^{2}-20b-32\right)$$

Сметнете 3b^{2}-20b-32. Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 3b^{2}+pb+qb-32. За да намерите p и q, настройте система, която да бъде решена.

$$p+q=-20 pq=3\left(-32\right)=-96$$

Тъй като pq е отрицателен, p и q имат противоположни знаци. Тъй като p+q е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -96 на продукта.

$$1,-96 2,-48 3,-32 4,-24 6,-16 8,-12$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-96=-95 2-48=-46 3-32=-29 4-24=-20 6-16=-10 8-12=-4$$

Решението е двойката, която дава сума -20.

$$p=-24 q=4$$

Напишете 3b^{2}-20b-32 като \left(3b^{2}-24b\right)+\left(4b-32\right).

$$\left(3b^{2}-24b\right)+\left(4b-32\right)$$

Фактор, 3b в първата и 4 във втората група.

$$3b\left(b-8\right)+4\left(b-8\right)$$

Разложете на множители общия член b-8, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Пренапишете пълния разложен на множители израз.

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$15b^{2}-100b-160=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{\left(-100\right)^{2}-4\times 15\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

Повдигане на квадрат на -100.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-4\times 15\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

Умножете -4 по 15.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-60\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

Умножете -60 по -160.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000+9600}}{2\times 15}$$

Съберете 10000 с 9600.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{19600}}{2\times 15}$$

Получете корен квадратен от 19600.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±140}{2\times 15}$$

Противоположното на -100 е 100.

$$b=\frac{100±140}{2\times 15}$$

Умножете 2 по 15.

$$b=\frac{100±140}{30}$$

Сега решете уравнението b=\frac{100±140}{30}, когато ± е плюс. Съберете 100 с 140.

$$b=\frac{240}{30}$$

Разделете 240 на 30.

$$b=8$$

Сега решете уравнението b=\frac{100±140}{30}, когато ± е минус. Извадете 140 от 100.

$$b=-\frac{40}{30}$$

Намаляване на дробта \frac{-40}{30} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 10.

$$b=-\frac{4}{3}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с 8 и x_{2} с -\frac{4}{3}.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\left(b-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\left(b+\frac{4}{3}\right)$$

Съберете \frac{4}{3} и b, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\times \frac{3b+4}{3}$$

Съкратете най-големия общ множител 3 в 15 и 3.

$$15b^{2}-100b-160=5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Изчисляване

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$