Решете 15(x^2-1)>-16x

$$15 ( x ^ { 2 } - 1 ) > - 16 x$$

Решаване за x

$$x\in \left(-\infty,-\frac{5}{3}\right)\cup \left(\frac{3}{5},\infty\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 15 по x^{2}-1.

$$15x^{2}-15>-16x$$

Добавете 16x от двете страни.

$$15x^{2}-15+16x>0$$

За да решите неравенството, разложете на множители лявата страна. Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}-15+16x=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 15 за a, 16 за b и -15 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 15\left(-15\right)}}{2\times 15}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-16±34}{30}$$

Решете уравнението x=\frac{-16±34}{30}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\frac{3}{5} x=-\frac{5}{3}$$

Напишете отново неравенство с помощта на получените решения.

$$15\left(x-\frac{3}{5}\right)\left(x+\frac{5}{3}\right)>0$$

За да бъде положително произведението, трябва и двата множителя x-\frac{3}{5} и x+\frac{5}{3} да бъдат положителни или и двата да бъдат отрицателни. Разгледайте случая, когато x-\frac{3}{5} и x+\frac{5}{3} са отрицателни.

$$x-\frac{3}{5}<0 x+\frac{5}{3}<0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x<-\frac{5}{3}.

$$x<-\frac{5}{3}$$

Разгледайте случая, когато x-\frac{3}{5} и x+\frac{5}{3} са положителни.

$$x+\frac{5}{3}>0 x-\frac{3}{5}>0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x>\frac{3}{5}.

$$x>\frac{3}{5}$$

Крайното решение е обединението на получените решения.

$$x<-\frac{5}{3}\text{; }x>\frac{3}{5}$$