Решете 13x=x^2+30

$$13 x = x ^ { 2 } + 30$$

Решаване за x

$$x=3$$

$$x=10$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$13x-x^{2}=30$$

Извадете 30 и от двете страни.

$$13x-x^{2}-30=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-x^{2}+13x-30=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -x^{2}+ax+bx-30. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=13 ab=-\left(-30\right)=30$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 30 на продукта.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Решението е двойката, която дава сума 13.

$$a=10 b=3$$

Напишете -x^{2}+13x-30 като \left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right)$$

Фактор, -x в първата и 3 във втората група.

$$-x\left(x-10\right)+3\left(x-10\right)$$

Разложете на множители общия член x-10, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-10\right)\left(-x+3\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-10=0 и -x+3=0.

$$x=10 x=3$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$13x-x^{2}=30$$

Извадете 30 и от двете страни.

$$13x-x^{2}-30=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-x^{2}+13x-30=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, 13 вместо b и -30 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-1\right)\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-1\right)\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+4\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по -30.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 169 с -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$x=\frac{-13±7}{-2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-13±7}{-2}, когато ± е плюс. Съберете -13 с 7.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Разделете -6 на -2.

$$x=3$$

Сега решете уравнението x=\frac{-13±7}{-2}, когато ± е минус. Извадете 7 от -13.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Разделете -20 на -2.

$$x=10$$

Уравнението сега е решено.

$$x=3 x=10$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$13x-x^{2}=30$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+13x=30$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-x^{2}+13x}{-1}=\frac{30}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$x^{2}+\frac{13}{-1}x=\frac{30}{-1}$$

Разделете 13 на -1.

$$x^{2}-13x=\frac{30}{-1}$$

Разделете 30 на -1.

$$x^{2}-13x=-30$$

Разделете -13 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{13}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{13}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{13}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-30+\frac{169}{4}$$

Съберете -30 с \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{49}{4}$$

Разложете на множител x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{7}{2}$$

Съберете \frac{13}{2} към двете страни на уравнението.

$$x=10 x=3$$