Решете 13n^2-41n-120=0

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

Решаване за n

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1,846153846$$

$$n=5$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 13n^{2}+an+bn-120. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -1560 на продукта.

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

Решението е двойката, която дава сума -41.

$$a=-65 b=24$$

Напишете 13n^{2}-41n-120 като \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right).

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

Фактор, 13n в първата и 24 във втората група.

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

Разложете на множители общия член n-5, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете n-5=0 и 13n+24=0.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 13 вместо a, -41 вместо b и -120 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Повдигане на квадрат на -41.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Умножете -4 по 13.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Умножете -52 по -120.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

Съберете 1681 с 6240.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

Получете корен квадратен от 7921.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

Противоположното на -41 е 41.

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

Умножете 2 по 13.

$$n=\frac{41±89}{26}$$

Сега решете уравнението n=\frac{41±89}{26}, когато ± е плюс. Съберете 41 с 89.

$$n=\frac{130}{26}$$

Разделете 130 на 26.

$$n=5$$

Сега решете уравнението n=\frac{41±89}{26}, когато ± е минус. Извадете 89 от 41.

$$n=-\frac{48}{26}$$

Намаляване на дробта \frac{-48}{26} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$n=-\frac{24}{13}$$

Уравнението сега е решено.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Съберете 120 към двете страни на уравнението.

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Изваждане на -120 от самото него дава 0.

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

Извадете -120 от 0.

$$13n^{2}-41n=120$$

Разделете двете страни на 13.

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

Делението на 13 отменя умножението по 13.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

Разделете -\frac{41}{13} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{41}{26}. След това съберете квадрата на -\frac{41}{26} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{41}{26}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

Съберете \frac{120}{13} и \frac{1681}{676}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

Разложете на множител n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

Опростявайте.

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

Съберете \frac{41}{26} към двете страни на уравнението.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$