Решете 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

Решаване за x

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76,666666667$$

$$x=10$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Разделете двете страни на 40.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 3x^{2}+ax+bx-2300. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -6900 на продукта.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

Решението е двойката, която дава сума 200.

$$a=-30 b=230$$

Напишете 3x^{2}+200x-2300 като \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

Фактор, 3x в първата и 230 във втората група.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

Разложете на множители общия член x-10, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-10=0 и 3x+230=0.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 120 вместо a, 8000 вместо b и -92000 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Повдигане на квадрат на 8000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Умножете -4 по 120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Умножете -480 по -92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

Съберете 64000000 с 44160000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

Получете корен квадратен от 108160000.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

Умножете 2 по 120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-8000±10400}{240}, когато ± е плюс. Съберете -8000 с 10400.

$$x=\frac{2400}{240}$$

Разделете 2400 на 240.

$$x=10$$

Сега решете уравнението x=\frac{-8000±10400}{240}, когато ± е минус. Извадете 10400 от -8000.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

Намаляване на дробта \frac{-18400}{240} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 80.

$$x=-\frac{230}{3}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Съберете 92000 към двете страни на уравнението.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

Изваждане на -92000 от самото него дава 0.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

Извадете -92000 от 0.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

Разделете двете страни на 120.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

Делението на 120 отменя умножението по 120.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

Намаляване на дробта \frac{8000}{120} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

Намаляване на дробта \frac{92000}{120} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

Разделете \frac{200}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{100}{3}. След това съберете квадрата на \frac{100}{3} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{100}{3}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

Съберете \frac{2300}{3} и \frac{10000}{9}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

Извадете \frac{100}{3} и от двете страни на уравнението.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$