Решете 12x^2-5x-2

$$12 x ^ { 2 } - 5 x - 2$$

Разлагане на множители

$$\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 12x^{2}+ax+bx-2. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-5 ab=12\left(-2\right)=-24$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -24 на продукта.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Решението е двойката, която дава сума -5.

$$a=-8 b=3$$

Напишете 12x^{2}-5x-2 като \left(12x^{2}-8x\right)+\left(3x-2\right).

$$\left(12x^{2}-8x\right)+\left(3x-2\right)$$

Разложете на множители 4x в 12x^{2}-8x.

$$4x\left(3x-2\right)+3x-2$$

Разложете на множители общия член 3x-2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-5x-2=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 12\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

Повдигане на квадрат на -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 12\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

Умножете -4 по 12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

Умножете -48 по -2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2\times 12}$$

Съберете 25 с 96.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2\times 12}$$

Получете корен квадратен от 121.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±11}{2\times 12}$$

Противоположното на -5 е 5.

$$x=\frac{5±11}{2\times 12}$$

Умножете 2 по 12.

$$x=\frac{5±11}{24}$$

Сега решете уравнението x=\frac{5±11}{24}, когато ± е плюс. Съберете 5 с 11.

$$x=\frac{16}{24}$$

Намаляване на дробта \frac{16}{24} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 8.

$$x=\frac{2}{3}$$

Сега решете уравнението x=\frac{5±11}{24}, когато ± е минус. Извадете 11 от 5.

$$x=-\frac{6}{24}$$

Намаляване на дробта \frac{-6}{24} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{2}{3} и x_{2} с -\frac{1}{4}.

$$12x^{2}-5x-2=12\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$12x^{2}-5x-2=12\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Извадете \frac{2}{3} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$12x^{2}-5x-2=12\times \frac{3x-2}{3}\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Съберете \frac{1}{4} и x, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$12x^{2}-5x-2=12\times \frac{3x-2}{3}\times \frac{4x+1}{4}$$

Умножете \frac{3x-2}{3} по \frac{4x+1}{4}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$12x^{2}-5x-2=12\times \frac{\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)}{3\times 4}$$

Умножете 3 по 4.

$$12x^{2}-5x-2=12\times \frac{\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)}{12}$$

Съкратете най-големия общ множител 12 в 12 и 12.

$$12x^{2}-5x-2=\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Изчисляване

$$\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)$$