Решете 12x^2-24x-63

$$12 x ^ { 2 } - 24 x - 63$$

Разлагане на множители

$$3\left(2x-7\right)\left(2x+3\right)$$

Стъпки на решението

Разложете на множители 3.

$$3\left(4x^{2}-8x-21\right)$$

Сметнете 4x^{2}-8x-21. Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 4x^{2}+ax+bx-21. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-8 ab=4\left(-21\right)=-84$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -84 на продукта.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

Решението е двойката, която дава сума -8.

$$a=-14 b=6$$

Напишете 4x^{2}-8x-21 като \left(4x^{2}-14x\right)+\left(6x-21\right).

$$\left(4x^{2}-14x\right)+\left(6x-21\right)$$

Фактор, 2x в първата и 3 във втората група.

$$2x\left(2x-7\right)+3\left(2x-7\right)$$

Разложете на множители общия член 2x-7, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(2x-7\right)\left(2x+3\right)$$

Пренапишете пълния разложен на множители израз.

$$3\left(2x-7\right)\left(2x+3\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-24x-63=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 12\left(-63\right)}}{2\times 12}$$

Повдигане на квадрат на -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 12\left(-63\right)}}{2\times 12}$$

Умножете -4 по 12.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-48\left(-63\right)}}{2\times 12}$$

Умножете -48 по -63.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+3024}}{2\times 12}$$

Съберете 576 с 3024.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{3600}}{2\times 12}$$

Получете корен квадратен от 3600.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±60}{2\times 12}$$

Противоположното на -24 е 24.

$$x=\frac{24±60}{2\times 12}$$

Умножете 2 по 12.

$$x=\frac{24±60}{24}$$

Сега решете уравнението x=\frac{24±60}{24}, когато ± е плюс. Съберете 24 с 60.

$$x=\frac{84}{24}$$

Намаляване на дробта \frac{84}{24} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 12.

$$x=\frac{7}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{24±60}{24}, когато ± е минус. Извадете 60 от 24.

$$x=-\frac{36}{24}$$

Намаляване на дробта \frac{-36}{24} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 12.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{7}{2} и x_{2} с -\frac{3}{2}.

$$12x^{2}-24x-63=12\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$12x^{2}-24x-63=12\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

Извадете \frac{7}{2} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$12x^{2}-24x-63=12\times \frac{2x-7}{2}\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

Съберете \frac{3}{2} и x, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$12x^{2}-24x-63=12\times \frac{2x-7}{2}\times \frac{2x+3}{2}$$

Умножете \frac{2x-7}{2} по \frac{2x+3}{2}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$12x^{2}-24x-63=12\times \frac{\left(2x-7\right)\left(2x+3\right)}{2\times 2}$$

Умножете 2 по 2.

$$12x^{2}-24x-63=12\times \frac{\left(2x-7\right)\left(2x+3\right)}{4}$$

Съкратете най-големия общ множител 4 в 12 и 4.

$$12x^{2}-24x-63=3\left(2x-7\right)\left(2x+3\right)$$

Изчисляване

$$12x^{2}-24x-63$$