Решете 12x^2-20x-48

$$12 x ^ { 2 } - 20 x - 48$$

Разлагане на множители

$$4\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$

Стъпки на решението

Разложете на множители 4.

$$4\left(3x^{2}-5x-12\right)$$

Сметнете 3x^{2}-5x-12. Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 3x^{2}+ax+bx-12. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-5 ab=3\left(-12\right)=-36$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -36 на продукта.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Решението е двойката, която дава сума -5.

$$a=-9 b=4$$

Напишете 3x^{2}-5x-12 като \left(3x^{2}-9x\right)+\left(4x-12\right).

$$\left(3x^{2}-9x\right)+\left(4x-12\right)$$

Фактор, 3x в първата и 4 във втората група.

$$3x\left(x-3\right)+4\left(x-3\right)$$

Разложете на множители общия член x-3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$

Пренапишете пълния разложен на множители израз.

$$4\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-20x-48=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 12\left(-48\right)}}{2\times 12}$$

Повдигане на квадрат на -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 12\left(-48\right)}}{2\times 12}$$

Умножете -4 по 12.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-48\left(-48\right)}}{2\times 12}$$

Умножете -48 по -48.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400+2304}}{2\times 12}$$

Съберете 400 с 2304.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{2704}}{2\times 12}$$

Получете корен квадратен от 2704.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±52}{2\times 12}$$

Противоположното на -20 е 20.

$$x=\frac{20±52}{2\times 12}$$

Умножете 2 по 12.

$$x=\frac{20±52}{24}$$

Сега решете уравнението x=\frac{20±52}{24}, когато ± е плюс. Съберете 20 с 52.

$$x=\frac{72}{24}$$

Разделете 72 на 24.

$$x=3$$

Сега решете уравнението x=\frac{20±52}{24}, когато ± е минус. Извадете 52 от 20.

$$x=-\frac{32}{24}$$

Намаляване на дробта \frac{-32}{24} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 8.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с 3 и x_{2} с -\frac{4}{3}.

$$12x^{2}-20x-48=12\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$12x^{2}-20x-48=12\left(x-3\right)\left(x+\frac{4}{3}\right)$$

Съберете \frac{4}{3} и x, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$12x^{2}-20x-48=12\left(x-3\right)\times \frac{3x+4}{3}$$

Съкратете най-големия общ множител 3 в 12 и 3.

$$12x^{2}-20x-48=4\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$

Изчисляване

$$4\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$