Решете 12x^2+5=16x

$$12 x ^ { 2 } + 5 = 16 x$$

Решаване за x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Извадете 16x и от двете страни.

$$12x^{2}+5-16x=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$12x^{2}-16x+5=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 12x^{2}+ax+bx+5. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-16 ab=12\times 5=60$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 60 на продукта.

$$-1,-60 -2,-30 -3,-20 -4,-15 -5,-12 -6,-10$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-60=-61 -2-30=-32 -3-20=-23 -4-15=-19 -5-12=-17 -6-10=-16$$

Решението е двойката, която дава сума -16.

$$a=-10 b=-6$$

Напишете 12x^{2}-16x+5 като \left(12x^{2}-10x\right)+\left(-6x+5\right).

$$\left(12x^{2}-10x\right)+\left(-6x+5\right)$$

Фактор, 2x в първата и -1 във втората група.

$$2x\left(6x-5\right)-\left(6x-5\right)$$

Разложете на множители общия член 6x-5, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(6x-5\right)\left(2x-1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 6x-5=0 и 2x-1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{1}{2}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Извадете 16x и от двете страни.

$$12x^{2}+5-16x=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$12x^{2}-16x+5=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 12 вместо a, -16 вместо b и 5 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Повдигане на квадрат на -16.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Умножете -4 по 12.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-48\times 5}}{2\times 12}$$

Умножете -48 по 5.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-240}}{2\times 12}$$

Съберете 256 с -240.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{16}}{2\times 12}$$

Получете корен квадратен от 16.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±4}{2\times 12}$$

Противоположното на -16 е 16.

$$x=\frac{16±4}{2\times 12}$$

Умножете 2 по 12.

$$x=\frac{16±4}{24}$$

Сега решете уравнението x=\frac{16±4}{24}, когато ± е плюс. Съберете 16 с 4.

$$x=\frac{20}{24}$$

Намаляване на дробта \frac{20}{24} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x=\frac{5}{6}$$

Сега решете уравнението x=\frac{16±4}{24}, когато ± е минус. Извадете 4 от 16.

$$x=\frac{12}{24}$$

Намаляване на дробта \frac{12}{24} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 12.

$$x=\frac{1}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{1}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Извадете 16x и от двете страни.

$$12x^{2}+5-16x=0$$

Извадете 5 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$12x^{2}-16x=-5$$

Разделете двете страни на 12.

$$\frac{12x^{2}-16x}{12}=-\frac{5}{12}$$

Делението на 12 отменя умножението по 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{16}{12}\right)x=-\frac{5}{12}$$

Намаляване на дробта \frac{-16}{12} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{5}{12}$$

Разделете -\frac{4}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{2}{3}. След това съберете квадрата на -\frac{2}{3} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{2}{3}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{5}{12}+\frac{4}{9}$$

Съберете -\frac{5}{12} и \frac{4}{9}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{36}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{6} x-\frac{2}{3}=-\frac{1}{6}$$

Съберете \frac{2}{3} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{1}{2}$$