Решете 12x^2+23x-24

$$12 x ^ { 2 } + 23 x - 24$$

Разлагане на множители

$$\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 12x^{2}+ax+bx-24. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=23 ab=12\left(-24\right)=-288$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -288 на продукта.

$$-1,288 -2,144 -3,96 -4,72 -6,48 -8,36 -9,32 -12,24 -16,18$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+288=287 -2+144=142 -3+96=93 -4+72=68 -6+48=42 -8+36=28 -9+32=23 -12+24=12 -16+18=2$$

Решението е двойката, която дава сума 23.

$$a=-9 b=32$$

Напишете 12x^{2}+23x-24 като \left(12x^{2}-9x\right)+\left(32x-24\right).

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(32x-24\right)$$

Фактор, 3x в първата и 8 във втората група.

$$3x\left(4x-3\right)+8\left(4x-3\right)$$

Разложете на множители общия член 4x-3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}+23x-24=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 12\left(-24\right)}}{2\times 12}$$

Повдигане на квадрат на 23.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 12\left(-24\right)}}{2\times 12}$$

Умножете -4 по 12.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-48\left(-24\right)}}{2\times 12}$$

Умножете -48 по -24.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+1152}}{2\times 12}$$

Съберете 529 с 1152.

$$x=\frac{-23±\sqrt{1681}}{2\times 12}$$

Получете корен квадратен от 1681.

$$x=\frac{-23±41}{2\times 12}$$

Умножете 2 по 12.

$$x=\frac{-23±41}{24}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-23±41}{24}, когато ± е плюс. Съберете -23 с 41.

$$x=\frac{18}{24}$$

Намаляване на дробта \frac{18}{24} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$x=\frac{3}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-23±41}{24}, когато ± е минус. Извадете 41 от -23.

$$x=-\frac{64}{24}$$

Намаляване на дробта \frac{-64}{24} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 8.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{3}{4} и x_{2} с -\frac{8}{3}.

$$12x^{2}+23x-24=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{8}{3}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$12x^{2}+23x-24=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{8}{3}\right)$$

Извадете \frac{3}{4} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{4x-3}{4}\left(x+\frac{8}{3}\right)$$

Съберете \frac{8}{3} и x, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{4x-3}{4}\times \frac{3x+8}{3}$$

Умножете \frac{4x-3}{4} по \frac{3x+8}{3}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)}{4\times 3}$$

Умножете 4 по 3.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)}{12}$$

Съкратете най-големия общ множител 12 в 12 и 12.

$$12x^{2}+23x-24=\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$

Изчисляване

$$\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$