Решете 12k^2+16k-3

$$12 k ^ { 2 } + 16 k - 3$$

Разлагане на множители

$$\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 12k^{2}+ak+bk-3. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=16 ab=12\left(-3\right)=-36$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -36 на продукта.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Решението е двойката, която дава сума 16.

$$a=-2 b=18$$

Напишете 12k^{2}+16k-3 като \left(12k^{2}-2k\right)+\left(18k-3\right).

$$\left(12k^{2}-2k\right)+\left(18k-3\right)$$

Фактор, 2k в първата и 3 във втората група.

$$2k\left(6k-1\right)+3\left(6k-1\right)$$

Разложете на множители общия член 6k-1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$12k^{2}+16k-3=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$k=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Повдигане на квадрат на 16.

$$k=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Умножете -4 по 12.

$$k=\frac{-16±\sqrt{256-48\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Умножете -48 по -3.

$$k=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 12}$$

Съберете 256 с 144.

$$k=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 12}$$

Получете корен квадратен от 400.

$$k=\frac{-16±20}{2\times 12}$$

Умножете 2 по 12.

$$k=\frac{-16±20}{24}$$

Сега решете уравнението k=\frac{-16±20}{24}, когато ± е плюс. Съберете -16 с 20.

$$k=\frac{4}{24}$$

Намаляване на дробта \frac{4}{24} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$k=\frac{1}{6}$$

Сега решете уравнението k=\frac{-16±20}{24}, когато ± е минус. Извадете 20 от -16.

$$k=-\frac{36}{24}$$

Намаляване на дробта \frac{-36}{24} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 12.

$$k=-\frac{3}{2}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{1}{6} и x_{2} с -\frac{3}{2}.

$$12k^{2}+16k-3=12\left(k-\frac{1}{6}\right)\left(k-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$12k^{2}+16k-3=12\left(k-\frac{1}{6}\right)\left(k+\frac{3}{2}\right)$$

Извадете \frac{1}{6} от k, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$12k^{2}+16k-3=12\times \frac{6k-1}{6}\left(k+\frac{3}{2}\right)$$

Съберете \frac{3}{2} и k, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$12k^{2}+16k-3=12\times \frac{6k-1}{6}\times \frac{2k+3}{2}$$

Умножете \frac{6k-1}{6} по \frac{2k+3}{2}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$12k^{2}+16k-3=12\times \frac{\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)}{6\times 2}$$

Умножете 6 по 2.

$$12k^{2}+16k-3=12\times \frac{\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)}{12}$$

Съкратете най-големия общ множител 12 в 12 и 12.

$$12k^{2}+16k-3=\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)$$

Изчисляване

$$\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)$$