Решете 12k^2+15k-27

$$12 k ^ { 2 } + 15 k - 27$$

Разлагане на множители

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Стъпки на решението

Разложете на множители 3.

$$3\left(4k^{2}+5k-9\right)$$

Сметнете 4k^{2}+5k-9. Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 4k^{2}+ak+bk-9. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=5 ab=4\left(-9\right)=-36$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -36 на продукта.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Решението е двойката, която дава сума 5.

$$a=-4 b=9$$

Напишете 4k^{2}+5k-9 като \left(4k^{2}-4k\right)+\left(9k-9\right).

$$\left(4k^{2}-4k\right)+\left(9k-9\right)$$

Фактор, 4k в първата и 9 във втората група.

$$4k\left(k-1\right)+9\left(k-1\right)$$

Разложете на множители общия член k-1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Пренапишете пълния разложен на множители израз.

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$12k^{2}+15k-27=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$k=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 12\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

Повдигане на квадрат на 15.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 12\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

Умножете -4 по 12.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225-48\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

Умножете -48 по -27.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225+1296}}{2\times 12}$$

Съберете 225 с 1296.

$$k=\frac{-15±\sqrt{1521}}{2\times 12}$$

Получете корен квадратен от 1521.

$$k=\frac{-15±39}{2\times 12}$$

Умножете 2 по 12.

$$k=\frac{-15±39}{24}$$

Сега решете уравнението k=\frac{-15±39}{24}, когато ± е плюс. Съберете -15 с 39.

$$k=\frac{24}{24}$$

Разделете 24 на 24.

$$k=1$$

Сега решете уравнението k=\frac{-15±39}{24}, когато ± е минус. Извадете 39 от -15.

$$k=-\frac{54}{24}$$

Намаляване на дробта \frac{-54}{24} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$k=-\frac{9}{4}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с 1 и x_{2} с -\frac{9}{4}.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\left(k-\left(-\frac{9}{4}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\left(k+\frac{9}{4}\right)$$

Съберете \frac{9}{4} и k, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\times \frac{4k+9}{4}$$

Съкратете най-големия общ множител 4 в 12 и 4.

$$12k^{2}+15k-27=3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Изчисляване

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$