Решете 12c^2+11c-15

$$12 c ^ { 2 } + 11 c - 15$$

Разлагане на множители

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 12c^{2}+ac+bc-15. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -180 на продукта.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Решението е двойката, която дава сума 11.

$$a=-9 b=20$$

Напишете 12c^{2}+11c-15 като \left(12c^{2}-9c\right)+\left(20c-15\right).

$$\left(12c^{2}-9c\right)+\left(20c-15\right)$$

Фактор, 3c в първата и 5 във втората група.

$$3c\left(4c-3\right)+5\left(4c-3\right)$$

Разложете на множители общия член 4c-3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$12c^{2}+11c-15=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$c=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Повдигане на квадрат на 11.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Умножете -4 по 12.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Умножете -48 по -15.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Съберете 121 с 720.

$$c=\frac{-11±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Получете корен квадратен от 841.

$$c=\frac{-11±29}{2\times 12}$$

Умножете 2 по 12.

$$c=\frac{-11±29}{24}$$

Сега решете уравнението c=\frac{-11±29}{24}, когато ± е плюс. Съберете -11 с 29.

$$c=\frac{18}{24}$$

Намаляване на дробта \frac{18}{24} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$c=\frac{3}{4}$$

Сега решете уравнението c=\frac{-11±29}{24}, когато ± е минус. Извадете 29 от -11.

$$c=-\frac{40}{24}$$

Намаляване на дробта \frac{-40}{24} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 8.

$$c=-\frac{5}{3}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{3}{4} и x_{2} с -\frac{5}{3}.

$$12c^{2}+11c-15=12\left(c-\frac{3}{4}\right)\left(c-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$12c^{2}+11c-15=12\left(c-\frac{3}{4}\right)\left(c+\frac{5}{3}\right)$$

Извадете \frac{3}{4} от c, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{4c-3}{4}\left(c+\frac{5}{3}\right)$$

Съберете \frac{5}{3} и c, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{4c-3}{4}\times \frac{3c+5}{3}$$

Умножете \frac{4c-3}{4} по \frac{3c+5}{3}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)}{4\times 3}$$

Умножете 4 по 3.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)}{12}$$

Съкратете най-големия общ множител 12 в 12 и 12.

$$12c^{2}+11c-15=\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Изчисляване

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$