Решете 12(n-4)-30=n^2-9n+12

$$12 ( n - 4 ) - 30 = n ^ { 2 } - 9 n + 12$$

Решаване за n

$$n=6$$

$$n=15$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 12 по n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Извадете 30 от -48, за да получите -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Извадете n^{2} и от двете страни.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Добавете 9n от двете страни.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Групирайте 12n и 9n, за да получите 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Извадете 12 и от двете страни.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Извадете 12 от -78, за да получите -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -n^{2}+an+bn-90. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=21 ab=-\left(-90\right)=90$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 90 на продукта.

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

Решението е двойката, която дава сума 21.

$$a=15 b=6$$

Напишете -n^{2}+21n-90 като \left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right).

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)$$

Фактор, -n в първата и 6 във втората група.

$$-n\left(n-15\right)+6\left(n-15\right)$$

Разложете на множители общия член n-15, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(n-15\right)\left(-n+6\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете n-15=0 и -n+6=0.

$$n=15 n=6$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 12 по n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Извадете 30 от -48, за да получите -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Извадете n^{2} и от двете страни.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Добавете 9n от двете страни.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Групирайте 12n и 9n, за да получите 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Извадете 12 и от двете страни.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Извадете 12 от -78, за да получите -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, 21 вместо b и -90 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на 21.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по -90.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 441 с -360.

$$n=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от 81.

$$n=\frac{-21±9}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$n=\frac{-21±9}{-2}$$

Сега решете уравнението n=\frac{-21±9}{-2}, когато ± е плюс. Съберете -21 с 9.

$$n=-\frac{12}{-2}$$

Разделете -12 на -2.

$$n=6$$

Сега решете уравнението n=\frac{-21±9}{-2}, когато ± е минус. Извадете 9 от -21.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

Разделете -30 на -2.

$$n=15$$

Уравнението сега е решено.

$$n=6 n=15$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 12 по n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Извадете 30 от -48, за да получите -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Извадете n^{2} и от двете страни.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Добавете 9n от двете страни.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Групирайте 12n и 9n, за да получите 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Добавете 78 от двете страни.

$$21n-n^{2}=12+78$$

Съберете 12 и 78, за да се получи 90.

$$21n-n^{2}=90$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-n^{2}+21n=90$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-n^{2}+21n}{-1}=\frac{90}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$n^{2}+\frac{21}{-1}n=\frac{90}{-1}$$

Разделете 21 на -1.

$$n^{2}-21n=\frac{90}{-1}$$

Разделете 90 на -1.

$$n^{2}-21n=-90$$

Разделете -21 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{21}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{21}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$n^{2}-21n+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-90+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{21}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=-90+\frac{441}{4}$$

Съберете -90 с \frac{441}{4}.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=\frac{81}{4}$$

Разложете на множител n^{2}-21n+\frac{441}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Опростявайте.

$$n-\frac{21}{2}=\frac{9}{2} n-\frac{21}{2}=-\frac{9}{2}$$

Съберете \frac{21}{2} към двете страни на уравнението.

$$n=15 n=6$$