Решете 12z^2-7z-12

$$12 { z }^{ 2 } -7z-12$$

Разлагане на множители

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 12z^{2}+az+bz-12. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-7 ab=12\left(-12\right)=-144$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -144 на продукта.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Решението е двойката, която дава сума -7.

$$a=-16 b=9$$

Напишете 12z^{2}-7z-12 като \left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right).

$$\left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right)$$

Фактор, 4z в първата и 3 във втората група.

$$4z\left(3z-4\right)+3\left(3z-4\right)$$

Разложете на множители общия член 3z-4, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$12z^{2}-7z-12=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Повдигане на квадрат на -7.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Умножете -4 по 12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Умножете -48 по -12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+576}}{2\times 12}$$

Съберете 49 с 576.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Получете корен квадратен от 625.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±25}{2\times 12}$$

Противоположното на -7 е 7.

$$z=\frac{7±25}{2\times 12}$$

Умножете 2 по 12.

$$z=\frac{7±25}{24}$$

Сега решете уравнението z=\frac{7±25}{24}, когато ± е плюс. Съберете 7 с 25.

$$z=\frac{32}{24}$$

Намаляване на дробта \frac{32}{24} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 8.

$$z=\frac{4}{3}$$

Сега решете уравнението z=\frac{7±25}{24}, когато ± е минус. Извадете 25 от 7.

$$z=-\frac{18}{24}$$

Намаляване на дробта \frac{-18}{24} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$z=-\frac{3}{4}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{4}{3} и x_{2} с -\frac{3}{4}.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Извадете \frac{4}{3} от z, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Съберете \frac{3}{4} и z, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\times \frac{4z+3}{4}$$

Умножете \frac{3z-4}{3} по \frac{4z+3}{4}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{3\times 4}$$

Умножете 3 по 4.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{12}$$

Съкратете най-големия общ множител 12 в 12 и 12.

$$12z^{2}-7z-12=\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Изчисляване

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$