Решете 12x^2-7x+1

$$12 { x }^{ 2 } -7x+1$$

Разлагане на множители

$$\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 12x^{2}+ax+bx+1. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-7 ab=12\times 1=12$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 12 на продукта.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Решението е двойката, която дава сума -7.

$$a=-4 b=-3$$

Напишете 12x^{2}-7x+1 като \left(12x^{2}-4x\right)+\left(-3x+1\right).

$$\left(12x^{2}-4x\right)+\left(-3x+1\right)$$

Фактор, 4x в първата и -1 във втората група.

$$4x\left(3x-1\right)-\left(3x-1\right)$$

Разложете на множители общия член 3x-1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-7x+1=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12}}{2\times 12}$$

Повдигане на квадрат на -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12}}{2\times 12}$$

Умножете -4 по 12.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 12}$$

Съберете 49 с -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 12}$$

Получете корен квадратен от 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 12}$$

Противоположното на -7 е 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 12}$$

Умножете 2 по 12.

$$x=\frac{7±1}{24}$$

Сега решете уравнението x=\frac{7±1}{24}, когато ± е плюс. Съберете 7 с 1.

$$x=\frac{8}{24}$$

Намаляване на дробта \frac{8}{24} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 8.

$$x=\frac{1}{3}$$

Сега решете уравнението x=\frac{7±1}{24}, когато ± е минус. Извадете 1 от 7.

$$x=\frac{6}{24}$$

Намаляване на дробта \frac{6}{24} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 6.

$$x=\frac{1}{4}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{1}{3} и x_{2} с \frac{1}{4}.

$$12x^{2}-7x+1=12\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{4}\right)$$

Извадете \frac{1}{3} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$12x^{2}-7x+1=12\times \frac{3x-1}{3}\left(x-\frac{1}{4}\right)$$

Извадете \frac{1}{4} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$12x^{2}-7x+1=12\times \frac{3x-1}{3}\times \frac{4x-1}{4}$$

Умножете \frac{3x-1}{3} по \frac{4x-1}{4}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$12x^{2}-7x+1=12\times \frac{\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)}{3\times 4}$$

Умножете 3 по 4.

$$12x^{2}-7x+1=12\times \frac{\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)}{12}$$

Съкратете най-големия общ множител 12 в 12 и 12.

$$12x^{2}-7x+1=\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Изчисляване

$$\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)$$