Решете 12x^2-160x+400=0

$$12 { x }^{ 2 } -160x+400 = 0$$

Решаване за x

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3,333333333$$

$$x=10$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$12x^{2}-160x+400=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 12 вместо a, -160 вместо b и 400 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{\left(-160\right)^{2}-4\times 12\times 400}}{2\times 12}$$

Повдигане на квадрат на -160.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600-4\times 12\times 400}}{2\times 12}$$

Умножете -4 по 12.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600-48\times 400}}{2\times 12}$$

Умножете -48 по 400.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600-19200}}{2\times 12}$$

Съберете 25600 с -19200.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{6400}}{2\times 12}$$

Получете корен квадратен от 6400.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±80}{2\times 12}$$

Противоположното на -160 е 160.

$$x=\frac{160±80}{2\times 12}$$

Умножете 2 по 12.

$$x=\frac{160±80}{24}$$

Сега решете уравнението x=\frac{160±80}{24}, когато ± е плюс. Съберете 160 с 80.

$$x=\frac{240}{24}$$

Разделете 240 на 24.

$$x=10$$

Сега решете уравнението x=\frac{160±80}{24}, когато ± е минус. Извадете 80 от 160.

$$x=\frac{80}{24}$$

Намаляване на дробта \frac{80}{24} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 8.

$$x=\frac{10}{3}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=10 x=\frac{10}{3}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-160x+400=0$$

Извадете 400 и от двете страни на уравнението.

$$12x^{2}-160x+400-400=-400$$

Изваждане на 400 от самото него дава 0.

$$12x^{2}-160x=-400$$

Разделете двете страни на 12.

$$\frac{12x^{2}-160x}{12}=-\frac{400}{12}$$

Делението на 12 отменя умножението по 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{160}{12}\right)x=-\frac{400}{12}$$

Намаляване на дробта \frac{-160}{12} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-\frac{400}{12}$$

Намаляване на дробта \frac{-400}{12} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-\frac{100}{3}$$

Разделете -\frac{40}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{20}{3}. След това съберете квадрата на -\frac{20}{3} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}=-\frac{100}{3}+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{20}{3}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=-\frac{100}{3}+\frac{400}{9}$$

Съберете -\frac{100}{3} и \frac{400}{9}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=\frac{100}{9}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{20}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{20}{3}=-\frac{10}{3}$$

Съберете \frac{20}{3} към двете страни на уравнението.

$$x=10 x=\frac{10}{3}$$