Решете 12x^2-12^2x+9>0

$$12 { x }^{ 2 } - { 12 }^{ 2 } x+9 > 0$$

Решаване за x

$$x\in \left(-\infty,-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)\cup \left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6,\infty\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Изчислявате 2 на степен 12 и получавате 144.

$$12x^{2}-144x+9>0$$

За да решите неравенството, разложете на множители лявата страна. Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-144x+9=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 12 за a, -144 за b и 9 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-144\right)±\sqrt{\left(-144\right)^{2}-4\times 12\times 9}}{2\times 12}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{144±12\sqrt{141}}{24}$$

Решете уравнението x=\frac{144±12\sqrt{141}}{24}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\frac{\sqrt{141}}{2}+6 x=-\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$

Напишете отново неравенство с помощта на получените решения.

$$12\left(x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)\right)>0$$

За да бъде положително произведението, трябва и двата множителя x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) и x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) да бъдат положителни или и двата да бъдат отрицателни. Разгледайте случая, когато x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) и x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) са отрицателни.

$$x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)<0 x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)<0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x<-\frac{\sqrt{141}}{2}+6.

$$x<-\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$

Разгледайте случая, когато x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) и x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) са положителни.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)>0 x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)>0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x>\frac{\sqrt{141}}{2}+6.

$$x>\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$

Крайното решение е обединението на получените решения.

$$x<-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\text{; }x>\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$