Решете 12x^2+80x+100

$$12 { x }^{ 2 } +80x+100$$

Разлагане на множители

$$4\left(x+5\right)\left(3x+5\right)$$

Стъпки на решението

Разложете на множители 4.

$$4\left(3x^{2}+20x+25\right)$$

Сметнете 3x^{2}+20x+25. Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 3x^{2}+ax+bx+25. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=20 ab=3\times 25=75$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 75 на продукта.

$$1,75 3,25 5,15$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

Решението е двойката, която дава сума 20.

$$a=5 b=15$$

Напишете 3x^{2}+20x+25 като \left(3x^{2}+5x\right)+\left(15x+25\right).

$$\left(3x^{2}+5x\right)+\left(15x+25\right)$$

Фактор, x в първата и 5 във втората група.

$$x\left(3x+5\right)+5\left(3x+5\right)$$

Разложете на множители общия член 3x+5, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3x+5\right)\left(x+5\right)$$

Пренапишете пълния разложен на множители израз.

$$4\left(3x+5\right)\left(x+5\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}+80x+100=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-80±\sqrt{80^{2}-4\times 12\times 100}}{2\times 12}$$

Повдигане на квадрат на 80.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-4\times 12\times 100}}{2\times 12}$$

Умножете -4 по 12.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-48\times 100}}{2\times 12}$$

Умножете -48 по 100.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-4800}}{2\times 12}$$

Съберете 6400 с -4800.

$$x=\frac{-80±\sqrt{1600}}{2\times 12}$$

Получете корен квадратен от 1600.

$$x=\frac{-80±40}{2\times 12}$$

Умножете 2 по 12.

$$x=\frac{-80±40}{24}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-80±40}{24}, когато ± е плюс. Съберете -80 с 40.

$$x=-\frac{40}{24}$$

Намаляване на дробта \frac{-40}{24} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 8.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-80±40}{24}, когато ± е минус. Извадете 40 от -80.

$$x=-\frac{120}{24}$$

Разделете -120 на 24.

$$x=-5$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с -\frac{5}{3} и x_{2} с -5.

$$12x^{2}+80x+100=12\left(x-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)\left(x-\left(-5\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$12x^{2}+80x+100=12\left(x+\frac{5}{3}\right)\left(x+5\right)$$

Съберете \frac{5}{3} и x, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$12x^{2}+80x+100=12\times \frac{3x+5}{3}\left(x+5\right)$$

Съкратете най-големия общ множител 3 в 12 и 3.

$$12x^{2}+80x+100=4\left(3x+5\right)\left(x+5\right)$$

Изчисляване

$$4\left(x+5\right)\left(3x+5\right)$$