Решете 11x^2-98x-120=0

$$11 x ^ { 2 } - 98 x - 120 = 0$$

Решаване за x

$$x = -\frac{12}{11} = -1\frac{1}{11} \approx -1,090909091$$

$$x=10$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 11x^{2}+ax+bx-120. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-98 ab=11\left(-120\right)=-1320$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -1320 на продукта.

$$1,-1320 2,-660 3,-440 4,-330 5,-264 6,-220 8,-165 10,-132 11,-120 12,-110 15,-88 20,-66 22,-60 24,-55 30,-44 33,-40$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-1320=-1319 2-660=-658 3-440=-437 4-330=-326 5-264=-259 6-220=-214 8-165=-157 10-132=-122 11-120=-109 12-110=-98 15-88=-73 20-66=-46 22-60=-38 24-55=-31 30-44=-14 33-40=-7$$

Решението е двойката, която дава сума -98.

$$a=-110 b=12$$

Напишете 11x^{2}-98x-120 като \left(11x^{2}-110x\right)+\left(12x-120\right).

$$\left(11x^{2}-110x\right)+\left(12x-120\right)$$

Фактор, 11x в първата и 12 във втората група.

$$11x\left(x-10\right)+12\left(x-10\right)$$

Разложете на множители общия член x-10, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-10\right)\left(11x+12\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-10=0 и 11x+12=0.

$$x=10 x=-\frac{12}{11}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$11x^{2}-98x-120=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 11 вместо a, -98 вместо b и -120 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{\left(-98\right)^{2}-4\times 11\left(-120\right)}}{2\times 11}$$

Повдигане на квадрат на -98.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{9604-4\times 11\left(-120\right)}}{2\times 11}$$

Умножете -4 по 11.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{9604-44\left(-120\right)}}{2\times 11}$$

Умножете -44 по -120.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{9604+5280}}{2\times 11}$$

Съберете 9604 с 5280.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{14884}}{2\times 11}$$

Получете корен квадратен от 14884.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±122}{2\times 11}$$

Противоположното на -98 е 98.

$$x=\frac{98±122}{2\times 11}$$

Умножете 2 по 11.

$$x=\frac{98±122}{22}$$

Сега решете уравнението x=\frac{98±122}{22}, когато ± е плюс. Съберете 98 с 122.

$$x=\frac{220}{22}$$

Разделете 220 на 22.

$$x=10$$

Сега решете уравнението x=\frac{98±122}{22}, когато ± е минус. Извадете 122 от 98.

$$x=-\frac{24}{22}$$

Намаляване на дробта \frac{-24}{22} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=-\frac{12}{11}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=10 x=-\frac{12}{11}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}-98x-120=0$$

Съберете 120 към двете страни на уравнението.

$$11x^{2}-98x-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Изваждане на -120 от самото него дава 0.

$$11x^{2}-98x=-\left(-120\right)$$

Извадете -120 от 0.

$$11x^{2}-98x=120$$

Разделете двете страни на 11.

$$\frac{11x^{2}-98x}{11}=\frac{120}{11}$$

Делението на 11 отменя умножението по 11.

$$x^{2}-\frac{98}{11}x=\frac{120}{11}$$

Разделете -\frac{98}{11} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{49}{11}. След това съберете квадрата на -\frac{49}{11} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{98}{11}x+\left(-\frac{49}{11}\right)^{2}=\frac{120}{11}+\left(-\frac{49}{11}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{49}{11}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{98}{11}x+\frac{2401}{121}=\frac{120}{11}+\frac{2401}{121}$$

Съберете \frac{120}{11} и \frac{2401}{121}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{98}{11}x+\frac{2401}{121}=\frac{3721}{121}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{98}{11}x+\frac{2401}{121}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{49}{11}\right)^{2}=\frac{3721}{121}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{49}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3721}{121}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{49}{11}=\frac{61}{11} x-\frac{49}{11}=-\frac{61}{11}$$

Съберете \frac{49}{11} към двете страни на уравнението.

$$x=10 x=-\frac{12}{11}$$