Решете 11x^2-9x+1>0

$$11 { x }^{ 2 } -9x+1 > 0$$

Решаване за x

$$x\in \left(-\infty,\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{37}+9}{22},\infty\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

За да решите неравенството, разложете на множители лявата страна. Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$11x^{2}-9x+1=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 11 за a, -9 за b и 1 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 11\times 1}}{2\times 11}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}$$

Решете уравнението x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{22} x=\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Напишете отново неравенство с помощта на получените решения.

$$11\left(x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}\right)\left(x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)>0$$

За да бъде положително произведението, трябва и двата множителя x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} и x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} да бъдат положителни или и двата да бъдат отрицателни. Разгледайте случая, когато x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} и x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} са отрицателни.

$$x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}<0 x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}<0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Разгледайте случая, когато x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} и x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} са положителни.

$$x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}>0 x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}>0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}.

$$x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$

Крайното решение е обединението на получените решения.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}\text{; }x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$