Решете 1034=x^2+30x-110

$$1034 = x ^ { 2 } + 30 x - 110$$

Решаване за x

$$x=-52$$

$$x=22$$

Стъпки с разлагане на множители

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$x^{2}+30x-110=1034$$

Извадете 1034 и от двете страни.

$$x^{2}+30x-110-1034=0$$

Извадете 1034 от -110, за да получите -1144.

$$x^{2}+30x-1144=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът x^{2}+30x-1144 с помощта на формула x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=30 ab=-1144$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -1144 на продукта.

$$-1,1144 -2,572 -4,286 -8,143 -11,104 -13,88 -22,52 -26,44$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+1144=1143 -2+572=570 -4+286=282 -8+143=135 -11+104=93 -13+88=75 -22+52=30 -26+44=18$$

Решението е двойката, която дава сума 30.

$$a=-22 b=52$$

Пренапишете разложения на множители израз \left(x+a\right)\left(x+b\right) с помощта на получените стойности.

$$\left(x-22\right)\left(x+52\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-22=0 и x+52=0.

$$x=22 x=-52$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$x^{2}+30x-110=1034$$

Извадете 1034 и от двете страни.

$$x^{2}+30x-110-1034=0$$

Извадете 1034 от -110, за да получите -1144.

$$x^{2}+30x-1144=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като x^{2}+ax+bx-1144. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=30 ab=1\left(-1144\right)=-1144$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -1144 на продукта.

$$-1,1144 -2,572 -4,286 -8,143 -11,104 -13,88 -22,52 -26,44$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+1144=1143 -2+572=570 -4+286=282 -8+143=135 -11+104=93 -13+88=75 -22+52=30 -26+44=18$$

Решението е двойката, която дава сума 30.

$$a=-22 b=52$$

Напишете x^{2}+30x-1144 като \left(x^{2}-22x\right)+\left(52x-1144\right).

$$\left(x^{2}-22x\right)+\left(52x-1144\right)$$

Фактор, x в първата и 52 във втората група.

$$x\left(x-22\right)+52\left(x-22\right)$$

Разложете на множители общия член x-22, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-22\right)\left(x+52\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-22=0 и x+52=0.

$$x=22 x=-52$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$x^{2}+30x-110=1034$$

Извадете 1034 и от двете страни.

$$x^{2}+30x-110-1034=0$$

Извадете 1034 от -110, за да получите -1144.

$$x^{2}+30x-1144=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 1 вместо a, 30 вместо b и -1144 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-1144\right)}}{2}$$

Повдигане на квадрат на 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-1144\right)}}{2}$$

Умножете -4 по -1144.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+4576}}{2}$$

Съберете 900 с 4576.

$$x=\frac{-30±\sqrt{5476}}{2}$$

Получете корен квадратен от 5476.

$$x=\frac{-30±74}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-30±74}{2}, когато ± е плюс. Съберете -30 с 74.

$$x=\frac{44}{2}$$

Разделете 44 на 2.

$$x=22$$

Сега решете уравнението x=\frac{-30±74}{2}, когато ± е минус. Извадете 74 от -30.

$$x=-\frac{104}{2}$$

Разделете -104 на 2.

$$x=-52$$

Уравнението сега е решено.

$$x=22 x=-52$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$x^{2}+30x-110=1034$$

Добавете 110 от двете страни.

$$x^{2}+30x=1034+110$$

Съберете 1034 и 110, за да се получи 1144.

$$x^{2}+30x=1144$$

Разделете 30 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите 15. След това съберете квадрата на 15 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+30x+15^{2}=1144+15^{2}$$

Повдигане на квадрат на 15.

$$x^{2}+30x+225=1144+225$$

Съберете 1144 с 225.

$$x^{2}+30x+225=1369$$

Разложете на множител x^{2}+30x+225. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+15\right)^{2}=1369$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+15\right)^{2}}=\sqrt{1369}$$

Опростявайте.

$$x+15=37 x+15=-37$$

Извадете 15 и от двете страни на уравнението.

$$x=22 x=-52$$