Решете 1000x^2-590x-561=0

$$1000 { x }^{ 2 } -590x-561=0$$

Решаване за x

$$x=-\frac{51}{100}=-0,51$$

$$x = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1,1$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 1000x^{2}+ax+bx-561. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-590 ab=1000\left(-561\right)=-561000$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -561000 на продукта.

$$1,-561000 2,-280500 3,-187000 4,-140250 5,-112200 6,-93500 8,-70125 10,-56100 11,-51000 12,-46750 15,-37400 17,-33000 20,-28050 22,-25500 24,-23375 25,-22440 30,-18700 33,-17000 34,-16500 40,-14025 44,-12750 50,-11220 51,-11000 55,-10200 60,-9350 66,-8500 68,-8250 75,-7480 85,-6600 88,-6375 100,-5610 102,-5500 110,-5100 120,-4675 125,-4488 132,-4250 136,-4125 150,-3740 165,-3400 170,-3300 187,-3000 200,-2805 204,-2750 220,-2550 250,-2244 255,-2200 264,-2125 275,-2040 300,-1870 330,-1700 340,-1650 374,-1500 375,-1496 408,-1375 425,-1320 440,-1275 500,-1122 510,-1100 550,-1020 561,-1000 600,-935 660,-850 680,-825 748,-750$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-561000=-560999 2-280500=-280498 3-187000=-186997 4-140250=-140246 5-112200=-112195 6-93500=-93494 8-70125=-70117 10-56100=-56090 11-51000=-50989 12-46750=-46738 15-37400=-37385 17-33000=-32983 20-28050=-28030 22-25500=-25478 24-23375=-23351 25-22440=-22415 30-18700=-18670 33-17000=-16967 34-16500=-16466 40-14025=-13985 44-12750=-12706 50-11220=-11170 51-11000=-10949 55-10200=-10145 60-9350=-9290 66-8500=-8434 68-8250=-8182 75-7480=-7405 85-6600=-6515 88-6375=-6287 100-5610=-5510 102-5500=-5398 110-5100=-4990 120-4675=-4555 125-4488=-4363 132-4250=-4118 136-4125=-3989 150-3740=-3590 165-3400=-3235 170-3300=-3130 187-3000=-2813 200-2805=-2605 204-2750=-2546 220-2550=-2330 250-2244=-1994 255-2200=-1945 264-2125=-1861 275-2040=-1765 300-1870=-1570 330-1700=-1370 340-1650=-1310 374-1500=-1126 375-1496=-1121 408-1375=-967 425-1320=-895 440-1275=-835 500-1122=-622 510-1100=-590 550-1020=-470 561-1000=-439 600-935=-335 660-850=-190 680-825=-145 748-750=-2$$

Решението е двойката, която дава сума -590.

$$a=-1100 b=510$$

Напишете 1000x^{2}-590x-561 като \left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right).

$$\left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right)$$

Фактор, 100x в първата и 51 във втората група.

$$100x\left(10x-11\right)+51\left(10x-11\right)$$

Разложете на множители общия член 10x-11, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(10x-11\right)\left(100x+51\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 10x-11=0 и 100x+51=0.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 1000 вместо a, -590 вместо b и -561 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{\left(-590\right)^{2}-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Повдигане на квадрат на -590.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Умножете -4 по 1000.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Умножете -4000 по -561.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100+2244000}}{2\times 1000}$$

Съберете 348100 с 2244000.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{2592100}}{2\times 1000}$$

Получете корен квадратен от 2592100.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±1610}{2\times 1000}$$

Противоположното на -590 е 590.

$$x=\frac{590±1610}{2\times 1000}$$

Умножете 2 по 1000.

$$x=\frac{590±1610}{2000}$$

Сега решете уравнението x=\frac{590±1610}{2000}, когато ± е плюс. Съберете 590 с 1610.

$$x=\frac{2200}{2000}$$

Намаляване на дробта \frac{2200}{2000} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 200.

$$x=\frac{11}{10}$$

Сега решете уравнението x=\frac{590±1610}{2000}, когато ± е минус. Извадете 1610 от 590.

$$x=-\frac{1020}{2000}$$

Намаляване на дробта \frac{-1020}{2000} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 20.

$$x=-\frac{51}{100}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

Съберете 561 към двете страни на уравнението.

$$1000x^{2}-590x-561-\left(-561\right)=-\left(-561\right)$$

Изваждане на -561 от самото него дава 0.

$$1000x^{2}-590x=-\left(-561\right)$$

Извадете -561 от 0.

$$1000x^{2}-590x=561$$

Разделете двете страни на 1000.

$$\frac{1000x^{2}-590x}{1000}=\frac{561}{1000}$$

Делението на 1000 отменя умножението по 1000.

$$x^{2}+\left(-\frac{590}{1000}\right)x=\frac{561}{1000}$$

Намаляване на дробта \frac{-590}{1000} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 10.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x=\frac{561}{1000}$$

Разделете -\frac{59}{100} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{59}{200}. След това съберете квадрата на -\frac{59}{200} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{561}{1000}+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{59}{200}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{561}{1000}+\frac{3481}{40000}$$

Съберете \frac{561}{1000} и \frac{3481}{40000}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{25921}{40000}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{25921}{40000}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25921}{40000}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{59}{200}=\frac{161}{200} x-\frac{59}{200}=-\frac{161}{200}$$

Съберете \frac{59}{200} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$