Решете 1000x^2+6125x+125=0

$$1000 { x }^{ 2 } +6125x+125=0$$

Решаване за x

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16}\approx -0,020476619$$

$$x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}\approx -6,104523381$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$1000x^{2}+6125x+125=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 1000 вместо a, 6125 вместо b и 125 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{6125^{2}-4\times 1000\times 125}}{2\times 1000}$$

Повдигане на квадрат на 6125.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37515625-4\times 1000\times 125}}{2\times 1000}$$

Умножете -4 по 1000.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37515625-4000\times 125}}{2\times 1000}$$

Умножете -4000 по 125.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37515625-500000}}{2\times 1000}$$

Съберете 37515625 с -500000.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37015625}}{2\times 1000}$$

Получете корен квадратен от 37015625.

$$x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2\times 1000}$$

Умножете 2 по 1000.

$$x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2000}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2000}, когато ± е плюс. Съберете -6125 с 125\sqrt{2369}.

$$x=\frac{125\sqrt{2369}-6125}{2000}$$

Разделете -6125+125\sqrt{2369} на 2000.

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2000}, когато ± е минус. Извадете 125\sqrt{2369} от -6125.

$$x=\frac{-125\sqrt{2369}-6125}{2000}$$

Разделете -6125-125\sqrt{2369} на 2000.

$$x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16} x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$1000x^{2}+6125x+125=0$$

Извадете 125 и от двете страни на уравнението.

$$1000x^{2}+6125x+125-125=-125$$

Изваждане на 125 от самото него дава 0.

$$1000x^{2}+6125x=-125$$

Разделете двете страни на 1000.

$$\frac{1000x^{2}+6125x}{1000}=-\frac{125}{1000}$$

Делението на 1000 отменя умножението по 1000.

$$x^{2}+\frac{6125}{1000}x=-\frac{125}{1000}$$

Намаляване на дробта \frac{6125}{1000} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 125.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x=-\frac{125}{1000}$$

Намаляване на дробта \frac{-125}{1000} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 125.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x=-\frac{1}{8}$$

Разделете \frac{49}{8} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{49}{16}. След това съберете квадрата на \frac{49}{16} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x+\left(\frac{49}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(\frac{49}{16}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{49}{16}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x+\frac{2401}{256}=-\frac{1}{8}+\frac{2401}{256}$$

Съберете -\frac{1}{8} и \frac{2401}{256}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x+\frac{2401}{256}=\frac{2369}{256}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{49}{8}x+\frac{2401}{256}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{49}{16}\right)^{2}=\frac{2369}{256}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{49}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2369}{256}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{49}{16}=\frac{\sqrt{2369}}{16} x+\frac{49}{16}=-\frac{\sqrt{2369}}{16}$$

Извадете \frac{49}{16} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16} x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}$$