Решете 10x^2-7x-12geq0

$$10 x ^ { 2 } - 7 x - 12 \geq 0$$

Решаване за x

$$x\in (-\infty,-\frac{4}{5}]\cup [\frac{3}{2},\infty)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

За да решите неравенството, разложете на множители лявата страна. Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$10x^{2}-7x-12=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 10 за a, -7 за b и -12 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{7±23}{20}$$

Решете уравнението x=\frac{7±23}{20}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{4}{5}$$

Напишете отново неравенство с помощта на получените решения.

$$10\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right)\geq 0$$

За да бъде произведението ≥0, трябва и двата множителя x-\frac{3}{2} и x+\frac{4}{5} да бъдат ≤0 или и двата да бъдат ≥0. Разгледайте случая, когато x-\frac{3}{2} и x+\frac{4}{5} са ≤0.

$$x-\frac{3}{2}\leq 0 x+\frac{4}{5}\leq 0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x\leq -\frac{4}{5}.

$$x\leq -\frac{4}{5}$$

Разгледайте случая, когато x-\frac{3}{2} и x+\frac{4}{5} са ≥0.

$$x+\frac{4}{5}\geq 0 x-\frac{3}{2}\geq 0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x\geq \frac{3}{2}.

$$x\geq \frac{3}{2}$$

Крайното решение е обединението на получените решения.

$$x\leq -\frac{4}{5}\text{; }x\geq \frac{3}{2}$$