Решете 10p^2+9p+2

$$10 p ^ { 2 } + 9 p + 2$$

Разлагане на множители

$$\left(2p+1\right)\left(5p+2\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 10p^{2}+ap+bp+2. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=9 ab=10\times 2=20$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 20 на продукта.

$$1,20 2,10 4,5$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Решението е двойката, която дава сума 9.

$$a=4 b=5$$

Напишете 10p^{2}+9p+2 като \left(10p^{2}+4p\right)+\left(5p+2\right).

$$\left(10p^{2}+4p\right)+\left(5p+2\right)$$

Разложете на множители 2p в 10p^{2}+4p.

$$2p\left(5p+2\right)+5p+2$$

Разложете на множители общия член 5p+2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$10p^{2}+9p+2=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$p=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Повдигане на квадрат на 9.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Умножете -4 по 10.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-40\times 2}}{2\times 10}$$

Умножете -40 по 2.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-80}}{2\times 10}$$

Съберете 81 с -80.

$$p=\frac{-9±\sqrt{1}}{2\times 10}$$

Получете корен квадратен от 1.

$$p=\frac{-9±1}{2\times 10}$$

Умножете 2 по 10.

$$p=\frac{-9±1}{20}$$

Сега решете уравнението p=\frac{-9±1}{20}, когато ± е плюс. Съберете -9 с 1.

$$p=-\frac{8}{20}$$

Намаляване на дробта \frac{-8}{20} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$p=-\frac{2}{5}$$

Сега решете уравнението p=\frac{-9±1}{20}, когато ± е минус. Извадете 1 от -9.

$$p=-\frac{10}{20}$$

Намаляване на дробта \frac{-10}{20} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 10.

$$p=-\frac{1}{2}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с -\frac{2}{5} и x_{2} с -\frac{1}{2}.

$$10p^{2}+9p+2=10\left(p-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(p-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$10p^{2}+9p+2=10\left(p+\frac{2}{5}\right)\left(p+\frac{1}{2}\right)$$

Съберете \frac{2}{5} и p, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{5p+2}{5}\left(p+\frac{1}{2}\right)$$

Съберете \frac{1}{2} и p, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{5p+2}{5}\times \frac{2p+1}{2}$$

Умножете \frac{5p+2}{5} по \frac{2p+1}{2}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)}{5\times 2}$$

Умножете 5 по 2.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)}{10}$$

Съкратете най-големия общ множител 10 в 10 и 10.

$$10p^{2}+9p+2=\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)$$

Изчисляване

$$\left(2p+1\right)\left(5p+2\right)$$