Решете 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Решаване за k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 10k^{2}+ak+bk-1. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -10 на продукта.

$$-1,10 -2,5$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Решението е двойката, която дава сума 9.

$$a=-1 b=10$$

Напишете 10k^{2}+9k-1 като \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Разложете на множители k в 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Разложете на множители общия член 10k-1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 10k-1=0 и k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 10 вместо a, 9 вместо b и -1 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Повдигане на квадрат на 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Умножете -4 по 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Умножете -40 по -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Съберете 81 с 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Получете корен квадратен от 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Умножете 2 по 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Сега решете уравнението k=\frac{-9±11}{20}, когато ± е плюс. Съберете -9 с 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Намаляване на дробта \frac{2}{20} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Сега решете уравнението k=\frac{-9±11}{20}, когато ± е минус. Извадете 11 от -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Разделете -20 на 20.

$$k=-1$$

Уравнението сега е решено.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Съберете 1 към двете страни на уравнението.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Изваждане на -1 от самото него дава 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Извадете -1 от 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Разделете двете страни на 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

Делението на 10 отменя умножението по 10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Разделете \frac{9}{10} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{9}{20}. След това съберете квадрата на \frac{9}{20} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{9}{20}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Съберете \frac{1}{10} и \frac{81}{400}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Разложете на множител k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Опростявайте.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Извадете \frac{9}{20} и от двете страни на уравнението.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$