Решете 10y^2+19y+6

$$10 { y }^{ 2 } +19y+6$$

Разлагане на множители

$$\left(2y+3\right)\left(5y+2\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 10y^{2}+ay+by+6. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=19 ab=10\times 6=60$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 60 на продукта.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Решението е двойката, която дава сума 19.

$$a=4 b=15$$

Напишете 10y^{2}+19y+6 като \left(10y^{2}+4y\right)+\left(15y+6\right).

$$\left(10y^{2}+4y\right)+\left(15y+6\right)$$

Фактор, 2y в първата и 3 във втората група.

$$2y\left(5y+2\right)+3\left(5y+2\right)$$

Разложете на множители общия член 5y+2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(5y+2\right)\left(2y+3\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$10y^{2}+19y+6=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$y=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 10\times 6}}{2\times 10}$$

Повдигане на квадрат на 19.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 10\times 6}}{2\times 10}$$

Умножете -4 по 10.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-40\times 6}}{2\times 10}$$

Умножете -40 по 6.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-240}}{2\times 10}$$

Съберете 361 с -240.

$$y=\frac{-19±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Получете корен квадратен от 121.

$$y=\frac{-19±11}{2\times 10}$$

Умножете 2 по 10.

$$y=\frac{-19±11}{20}$$

Сега решете уравнението y=\frac{-19±11}{20}, когато ± е плюс. Съберете -19 с 11.

$$y=-\frac{8}{20}$$

Намаляване на дробта \frac{-8}{20} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$y=-\frac{2}{5}$$

Сега решете уравнението y=\frac{-19±11}{20}, когато ± е минус. Извадете 11 от -19.

$$y=-\frac{30}{20}$$

Намаляване на дробта \frac{-30}{20} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 10.

$$y=-\frac{3}{2}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с -\frac{2}{5} и x_{2} с -\frac{3}{2}.

$$10y^{2}+19y+6=10\left(y-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(y-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Опростете всички изрази от вида p-\left(-q\right) на p+q.

$$10y^{2}+19y+6=10\left(y+\frac{2}{5}\right)\left(y+\frac{3}{2}\right)$$

Съберете \frac{2}{5} и y, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$10y^{2}+19y+6=10\times \frac{5y+2}{5}\left(y+\frac{3}{2}\right)$$

Съберете \frac{3}{2} и y, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$10y^{2}+19y+6=10\times \frac{5y+2}{5}\times \frac{2y+3}{2}$$

Умножете \frac{5y+2}{5} по \frac{2y+3}{2}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$10y^{2}+19y+6=10\times \frac{\left(5y+2\right)\left(2y+3\right)}{5\times 2}$$

Умножете 5 по 2.

$$10y^{2}+19y+6=10\times \frac{\left(5y+2\right)\left(2y+3\right)}{10}$$

Съкратете най-големия общ множител 10 в 10 и 10.

$$10y^{2}+19y+6=\left(5y+2\right)\left(2y+3\right)$$

Изчисляване

$$\left(2y+3\right)\left(5y+2\right)$$