Решете 10x^2+10x+8=3x^2-10x+11

$$10 { x }^{ 2 } +10x+8=3 { x }^{ 2 } -10x+11$$

Решаване за x

$$x=-3$$

$$x=\frac{1}{7}\approx 0,142857143$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Извадете 3x^{2} и от двете страни.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Групирайте 10x^{2} и -3x^{2}, за да получите 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Добавете 10x от двете страни.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Групирайте 10x и 10x, за да получите 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Извадете 11 и от двете страни.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Извадете 11 от 8, за да получите -3.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 7x^{2}+ax+bx-3. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=20 ab=7\left(-3\right)=-21$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -21 на продукта.

$$-1,21 -3,7$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Решението е двойката, която дава сума 20.

$$a=-1 b=21$$

Напишете 7x^{2}+20x-3 като \left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right).

$$\left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right)$$

Фактор, x в първата и 3 във втората група.

$$x\left(7x-1\right)+3\left(7x-1\right)$$

Разложете на множители общия член 7x-1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(7x-1\right)\left(x+3\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 7x-1=0 и x+3=0.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Извадете 3x^{2} и от двете страни.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Групирайте 10x^{2} и -3x^{2}, за да получите 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Добавете 10x от двете страни.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Групирайте 10x и 10x, за да получите 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Извадете 11 и от двете страни.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Извадете 11 от 8, за да получите -3.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 7 вместо a, 20 вместо b и -3 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Повдигане на квадрат на 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Умножете -4 по 7.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-28\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Умножете -28 по -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+84}}{2\times 7}$$

Съберете 400 с 84.

$$x=\frac{-20±\sqrt{484}}{2\times 7}$$

Получете корен квадратен от 484.

$$x=\frac{-20±22}{2\times 7}$$

Умножете 2 по 7.

$$x=\frac{-20±22}{14}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-20±22}{14}, когато ± е плюс. Съберете -20 с 22.

$$x=\frac{2}{14}$$

Намаляване на дробта \frac{2}{14} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{1}{7}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-20±22}{14}, когато ± е минус. Извадете 22 от -20.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Разделете -42 на 14.

$$x=-3$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Извадете 3x^{2} и от двете страни.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Групирайте 10x^{2} и -3x^{2}, за да получите 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Добавете 10x от двете страни.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Групирайте 10x и 10x, за да получите 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Извадете 8 и от двете страни.

$$7x^{2}+20x=11-8$$

Извадете 8 от 11, за да получите 3.

$$7x^{2}+20x=3$$

Разделете двете страни на 7.

$$\frac{7x^{2}+20x}{7}=\frac{3}{7}$$

Делението на 7 отменя умножението по 7.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x=\frac{3}{7}$$

Разделете \frac{20}{7} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{10}{7}. След това съберете квадрата на \frac{10}{7} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{3}{7}+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{10}{7}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{3}{7}+\frac{100}{49}$$

Съберете \frac{3}{7} и \frac{100}{49}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{121}{49}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{121}{49}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{49}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{10}{7}=\frac{11}{7} x+\frac{10}{7}=-\frac{11}{7}$$

Извадете \frac{10}{7} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$