Решете 10^2+x^2=8^2-(12-x)^2

$$10 ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 8 ^ { 2 } - ( 12 - x ) ^ { 2 }$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=6+3\sqrt{6}i\approx 6+7,348469228i$$

$$x=-3\sqrt{6}i+6\approx 6-7,348469228i$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Изчислявате 2 на степен 10 и получавате 100.

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 8 и получавате 64.

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(12-x\right)^{2}.

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

За да намерите противоположната стойност на 144-24x+x^{2}, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

Извадете 144 от 64, за да получите -80.

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

Извадете -80 и от двете страни.

$$100+x^{2}-\left(-80\right)=24x-x^{2}$$

Противоположното на -80 е 80.

$$100+x^{2}+80=24x-x^{2}$$

Извадете 24x и от двете страни.

$$100+x^{2}+80-24x=-x^{2}$$

Съберете 100 и 80, за да се получи 180.

$$180+x^{2}-24x=-x^{2}$$

Добавете x^{2} от двете страни.

$$180+x^{2}-24x+x^{2}=0$$

Групирайте x^{2} и x^{2}, за да получите 2x^{2}.

$$180+2x^{2}-24x=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$2x^{2}-24x+180=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 2 вместо a, -24 вместо b и 180 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

Повдигане на квадрат на -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

Умножете -4 по 2.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 180}}{2\times 2}$$

Умножете -8 по 180.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-1440}}{2\times 2}$$

Съберете 576 с -1440.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-864}}{2\times 2}$$

Получете корен квадратен от -864.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

Противоположното на -24 е 24.

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

Умножете 2 по 2.

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4}, когато ± е плюс. Съберете 24 с 12i\sqrt{6}.

$$x=\frac{24+12\sqrt{6}i}{4}$$

Разделете 24+12i\sqrt{6} на 4.

$$x=6+3\sqrt{6}i$$

Сега решете уравнението x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4}, когато ± е минус. Извадете 12i\sqrt{6} от 24.

$$x=\frac{-12\sqrt{6}i+24}{4}$$

Разделете 24-12i\sqrt{6} на 4.

$$x=-3\sqrt{6}i+6$$

Уравнението сега е решено.

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Изчислявате 2 на степен 10 и получавате 100.

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен 8 и получавате 64.

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(12-x\right)^{2}.

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

За да намерите противоположната стойност на 144-24x+x^{2}, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

Извадете 144 от 64, за да получите -80.

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

Извадете 24x и от двете страни.

$$100+x^{2}-24x=-80-x^{2}$$

Добавете x^{2} от двете страни.

$$100+x^{2}-24x+x^{2}=-80$$

Групирайте x^{2} и x^{2}, за да получите 2x^{2}.

$$100+2x^{2}-24x=-80$$

Извадете 100 и от двете страни.

$$2x^{2}-24x=-80-100$$

Извадете 100 от -80, за да получите -180.

$$2x^{2}-24x=-180$$

Разделете двете страни на 2.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{180}{2}$$

Делението на 2 отменя умножението по 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{180}{2}$$

Разделете -24 на 2.

$$x^{2}-12x=-\frac{180}{2}$$

Разделете -180 на 2.

$$x^{2}-12x=-90$$

Разделете -12 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -6. След това съберете квадрата на -6 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-90+\left(-6\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на -6.

$$x^{2}-12x+36=-90+36$$

Съберете -90 с 36.

$$x^{2}-12x+36=-54$$

Разложете на множител x^{2}-12x+36. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=-54$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{-54}$$

Опростявайте.

$$x-6=3\sqrt{6}i x-6=-3\sqrt{6}i$$

Съберете 6 към двете страни на уравнението.

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$