Решете 1-3z+275z^2-075z^3=0

$$1-3z+275 { z }^{ 2 } -075 { z }^{ 3 } = 0$$

Решаване за z

$$z=\frac{3+\sqrt{1091}i}{550}\approx 0,005454545+0,060055071i$$

$$z=\frac{-\sqrt{1091}i+3}{550}\approx 0,005454545-0,060055071i$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Умножете 0 по 75, за да получите 0.

$$1-3z+275z^{2}-0z^{3}=0$$

Нещо по нула дава нула.

$$1-3z+275z^{2}-0=0$$

Пренаредете членовете.

$$275z^{2}-3z+1=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 275 вместо a, -3 вместо b и 1 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 275}}{2\times 275}$$

Повдигане на квадрат на -3.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 275}}{2\times 275}$$

Умножете -4 по 275.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-1100}}{2\times 275}$$

Съберете 9 с -1100.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-1091}}{2\times 275}$$

Получете корен квадратен от -1091.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{1091}i}{2\times 275}$$

Противоположното на -3 е 3.

$$z=\frac{3±\sqrt{1091}i}{2\times 275}$$

Умножете 2 по 275.

$$z=\frac{3±\sqrt{1091}i}{550}$$

Сега решете уравнението z=\frac{3±\sqrt{1091}i}{550}, когато ± е плюс. Съберете 3 с i\sqrt{1091}.

$$z=\frac{3+\sqrt{1091}i}{550}$$

Сега решете уравнението z=\frac{3±\sqrt{1091}i}{550}, когато ± е минус. Извадете i\sqrt{1091} от 3.

$$z=\frac{-\sqrt{1091}i+3}{550}$$

Уравнението сега е решено.

$$z=\frac{3+\sqrt{1091}i}{550} z=\frac{-\sqrt{1091}i+3}{550}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Умножете 0 по 75, за да получите 0.

$$1-3z+275z^{2}-0z^{3}=0$$

Нещо по нула дава нула.

$$1-3z+275z^{2}-0=0$$

Добавете 0 от двете страни.

$$1-3z+275z^{2}=0+0$$

Съберете 0 и 0, за да се получи 0.

$$1-3z+275z^{2}=0$$

Извадете 1 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$-3z+275z^{2}=-1$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$275z^{2}-3z=-1$$

Разделете двете страни на 275.

$$\frac{275z^{2}-3z}{275}=-\frac{1}{275}$$

Делението на 275 отменя умножението по 275.

$$z^{2}-\frac{3}{275}z=-\frac{1}{275}$$

Разделете -\frac{3}{275} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{3}{550}. След това съберете квадрата на -\frac{3}{550} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$z^{2}-\frac{3}{275}z+\left(-\frac{3}{550}\right)^{2}=-\frac{1}{275}+\left(-\frac{3}{550}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{3}{550}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$z^{2}-\frac{3}{275}z+\frac{9}{302500}=-\frac{1}{275}+\frac{9}{302500}$$

Съберете -\frac{1}{275} и \frac{9}{302500}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$z^{2}-\frac{3}{275}z+\frac{9}{302500}=-\frac{1091}{302500}$$

Разложете на множител z^{2}-\frac{3}{275}z+\frac{9}{302500}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{3}{550}\right)^{2}=-\frac{1091}{302500}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(z-\frac{3}{550}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1091}{302500}}$$

Опростявайте.

$$z-\frac{3}{550}=\frac{\sqrt{1091}i}{550} z-\frac{3}{550}=-\frac{\sqrt{1091}i}{550}$$

Съберете \frac{3}{550} към двете страни на уравнението.

$$z=\frac{3+\sqrt{1091}i}{550} z=\frac{-\sqrt{1091}i+3}{550}$$