Решете 1(2x-5)^2-09(x+4)^2=0

$$1 ( 2 x - 5 ) ^ { 2 } - 09 ( x + 4 ) ^ { 2 } = 0$$

Решаване за x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x-5\right)^{2}.

$$1\left(4x^{2}-20x+25\right)-0\times 9\left(x+4\right)^{2}=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 1 по 4x^{2}-20x+25.

$$4x^{2}-20x+25-0\times 9\left(x+4\right)^{2}=0$$

Умножете 0 по 9, за да получите 0.

$$4x^{2}-20x+25-0\left(x+4\right)^{2}=0$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25-0\left(x^{2}+8x+16\right)=0$$

Нещо по нула дава нула.

$$4x^{2}-20x+25-0=0$$

Пренаредете членовете.

$$4x^{2}-20x+25=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 4x^{2}+ax+bx+25. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-20 ab=4\times 25=100$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 100 на продукта.

$$-1,-100 -2,-50 -4,-25 -5,-20 -10,-10$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-100=-101 -2-50=-52 -4-25=-29 -5-20=-25 -10-10=-20$$

Решението е двойката, която дава сума -20.

$$a=-10 b=-10$$

Напишете 4x^{2}-20x+25 като \left(4x^{2}-10x\right)+\left(-10x+25\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(-10x+25\right)$$

Фактор, 2x в първата и -5 във втората група.

$$2x\left(2x-5\right)-5\left(2x-5\right)$$

Разложете на множители общия член 2x-5, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(2x-5\right)\left(2x-5\right)$$

Преобразуване като биномен квадрат.

$$\left(2x-5\right)^{2}$$

За да намерите решение за уравнението, решете 2x-5=0.

$$x=\frac{5}{2}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x-5\right)^{2}.

$$1\left(4x^{2}-20x+25\right)-0\times 9\left(x+4\right)^{2}=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 1 по 4x^{2}-20x+25.

$$4x^{2}-20x+25-0\times 9\left(x+4\right)^{2}=0$$

Умножете 0 по 9, за да получите 0.

$$4x^{2}-20x+25-0\left(x+4\right)^{2}=0$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25-0\left(x^{2}+8x+16\right)=0$$

Нещо по нула дава нула.

$$4x^{2}-20x+25-0=0$$

Пренаредете членовете.

$$4x^{2}-20x+25=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 4 вместо a, -20 вместо b и 25 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Повдигане на квадрат на -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Умножете -4 по 4.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-16\times 25}}{2\times 4}$$

Умножете -16 по 25.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-400}}{2\times 4}$$

Съберете 400 с -400.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Получете корен квадратен от 0.

$$x=-\frac{-20}{2\times 4}$$

Противоположното на -20 е 20.

$$x=\frac{20}{2\times 4}$$

Умножете 2 по 4.

$$x=\frac{20}{8}$$

Намаляване на дробта \frac{20}{8} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x-5\right)^{2}.

$$1\left(4x^{2}-20x+25\right)-0\times 9\left(x+4\right)^{2}=0$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 1 по 4x^{2}-20x+25.

$$4x^{2}-20x+25-0\times 9\left(x+4\right)^{2}=0$$

Умножете 0 по 9, за да получите 0.

$$4x^{2}-20x+25-0\left(x+4\right)^{2}=0$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25-0\left(x^{2}+8x+16\right)=0$$

Нещо по нула дава нула.

$$4x^{2}-20x+25-0=0$$

Добавете 0 от двете страни.

$$4x^{2}-20x+25=0+0$$

Съберете 0 и 0, за да се получи 0.

$$4x^{2}-20x+25=0$$

Извадете 25 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$4x^{2}-20x=-25$$

Разделете двете страни на 4.

$$\frac{4x^{2}-20x}{4}=-\frac{25}{4}$$

Делението на 4 отменя умножението по 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{4}\right)x=-\frac{25}{4}$$

Разделете -20 на 4.

$$x^{2}-5x=-\frac{25}{4}$$

Разделете -5 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{5}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{5}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{25}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{5}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-25+25}{4}$$

Съберете -\frac{25}{4} и \frac{25}{4}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=0$$

Разложете на множител x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=0$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{5}{2}=0 x-\frac{5}{2}=0$$

Съберете \frac{5}{2} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{5}{2} x=\frac{5}{2}$$

Уравнението сега е решено. Решенията са еднакви.

$$x=\frac{5}{2}$$