Решете 0=5n^2+1205n-90300

$$0 = 5 n ^ { 2 } + 1205 n - 90300$$

Решаване за n

$$n=-301$$

$$n=60$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$5n^{2}+1205n-90300=0$$

Разделете двете страни на 5.

$$n^{2}+241n-18060=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като n^{2}+an+bn-18060. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=241 ab=1\left(-18060\right)=-18060$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -18060 на продукта.

$$-1,18060 -2,9030 -3,6020 -4,4515 -5,3612 -6,3010 -7,2580 -10,1806 -12,1505 -14,1290 -15,1204 -20,903 -21,860 -28,645 -30,602 -35,516 -42,430 -43,420 -60,301 -70,258 -84,215 -86,210 -105,172 -129,140$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+18060=18059 -2+9030=9028 -3+6020=6017 -4+4515=4511 -5+3612=3607 -6+3010=3004 -7+2580=2573 -10+1806=1796 -12+1505=1493 -14+1290=1276 -15+1204=1189 -20+903=883 -21+860=839 -28+645=617 -30+602=572 -35+516=481 -42+430=388 -43+420=377 -60+301=241 -70+258=188 -84+215=131 -86+210=124 -105+172=67 -129+140=11$$

Решението е двойката, която дава сума 241.

$$a=-60 b=301$$

Напишете n^{2}+241n-18060 като \left(n^{2}-60n\right)+\left(301n-18060\right).

$$\left(n^{2}-60n\right)+\left(301n-18060\right)$$

Фактор, n в първата и 301 във втората група.

$$n\left(n-60\right)+301\left(n-60\right)$$

Разложете на множители общия член n-60, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(n-60\right)\left(n+301\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете n-60=0 и n+301=0.

$$n=60 n=-301$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$5n^{2}+1205n-90300=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 5 вместо a, 1205 вместо b и -90300 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{1205^{2}-4\times 5\left(-90300\right)}}{2\times 5}$$

Повдигане на квадрат на 1205.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{1452025-4\times 5\left(-90300\right)}}{2\times 5}$$

Умножете -4 по 5.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{1452025-20\left(-90300\right)}}{2\times 5}$$

Умножете -20 по -90300.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{1452025+1806000}}{2\times 5}$$

Съберете 1452025 с 1806000.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{3258025}}{2\times 5}$$

Получете корен квадратен от 3258025.

$$n=\frac{-1205±1805}{2\times 5}$$

Умножете 2 по 5.

$$n=\frac{-1205±1805}{10}$$

Сега решете уравнението n=\frac{-1205±1805}{10}, когато ± е плюс. Съберете -1205 с 1805.

$$n=\frac{600}{10}$$

Разделете 600 на 10.

$$n=60$$

Сега решете уравнението n=\frac{-1205±1805}{10}, когато ± е минус. Извадете 1805 от -1205.

$$n=-\frac{3010}{10}$$

Разделете -3010 на 10.

$$n=-301$$

Уравнението сега е решено.

$$n=60 n=-301$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$5n^{2}+1205n-90300=0$$

Добавете 90300 от двете страни. Нещо плюс нула дава същото нещо.

$$5n^{2}+1205n=90300$$

Разделете двете страни на 5.

$$\frac{5n^{2}+1205n}{5}=\frac{90300}{5}$$

Делението на 5 отменя умножението по 5.

$$n^{2}+\frac{1205}{5}n=\frac{90300}{5}$$

Разделете 1205 на 5.

$$n^{2}+241n=\frac{90300}{5}$$

Разделете 90300 на 5.

$$n^{2}+241n=18060$$

Разделете 241 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{241}{2}. След това съберете квадрата на \frac{241}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$n^{2}+241n+\left(\frac{241}{2}\right)^{2}=18060+\left(\frac{241}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{241}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$n^{2}+241n+\frac{58081}{4}=18060+\frac{58081}{4}$$

Съберете 18060 с \frac{58081}{4}.

$$n^{2}+241n+\frac{58081}{4}=\frac{130321}{4}$$

Разложете на множител n^{2}+241n+\frac{58081}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{241}{2}\right)^{2}=\frac{130321}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(n+\frac{241}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{130321}{4}}$$

Опростявайте.

$$n+\frac{241}{2}=\frac{361}{2} n+\frac{241}{2}=-\frac{361}{2}$$

Извадете \frac{241}{2} и от двете страни на уравнението.

$$n=60 n=-301$$