Решете 0=4x^2-x-3

$$0 = 4 x ^ { 2 } - x - 3$$

Решаване за x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=1$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$4x^{2}-x-3=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 4x^{2}+ax+bx-3. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-1 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -12 на продукта.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Решението е двойката, която дава сума -1.

$$a=-4 b=3$$

Напишете 4x^{2}-x-3 като \left(4x^{2}-4x\right)+\left(3x-3\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(3x-3\right)$$

Фактор, 4x в първата и 3 във втората група.

$$4x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

Разложете на множители общия член x-1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-1\right)\left(4x+3\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-1=0 и 4x+3=0.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$4x^{2}-x-3=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 4 вместо a, -1 вместо b и -3 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Умножете -4 по 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Умножете -16 по -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 4}$$

Съберете 1 с 48.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Получете корен квадратен от 49.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 4}$$

Противоположното на -1 е 1.

$$x=\frac{1±7}{2\times 4}$$

Умножете 2 по 4.

$$x=\frac{1±7}{8}$$

Сега решете уравнението x=\frac{1±7}{8}, когато ± е плюс. Съберете 1 с 7.

$$x=\frac{8}{8}$$

Разделете 8 на 8.

$$x=1$$

Сега решете уравнението x=\frac{1±7}{8}, когато ± е минус. Извадете 7 от 1.

$$x=-\frac{6}{8}$$

Намаляване на дробта \frac{-6}{8} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$4x^{2}-x-3=0$$

Добавете 3 от двете страни. Нещо плюс нула дава същото нещо.

$$4x^{2}-x=3$$

Разделете двете страни на 4.

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{3}{4}$$

Делението на 4 отменя умножението по 4.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{3}{4}$$

Разделете -\frac{1}{4} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{1}{8}. След това съберете квадрата на -\frac{1}{8} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{1}{8}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{3}{4}+\frac{1}{64}$$

Съберете \frac{3}{4} и \frac{1}{64}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{49}{64}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{7}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{7}{8}$$

Съберете \frac{1}{8} към двете страни на уравнението.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$